（12 分）（2008 四川）如图，一张平行四边形的硬纸片…——2008 高考数学第 19 题答案解析

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
【专题】计算题．
【分析】（I）要证面面垂直，只要证线面垂直，要证线面垂直，只要证线线垂直，由题意易得 $\mathrm{DB} \perp \mathrm{BC}$ ，又 $\mathrm{DB} \perp \mathrm{BC}_{0}$ ，则题目可证。
（II）解法一：由 $\mathrm{DB} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，故只要过 B 做 $\mathrm{BE} \| \mathrm{AD}$ ，则角 $\angle \mathrm{CBE}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$的平面角，构造三角形求角即可。

解法二：根据题意，建立空间坐标系，利用空间向量求解。由于 $\mathrm{DA} \perp \mathrm{BD}, ~ \mathrm{BC} \perp \mathrm{BD}$ ，所以 $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$与 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 夹角的大小等于二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的大小。由夹角公式求 $\overrightarrow{\mathrm{DA}} \overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 的夹角的余弦，从而确定角的大小。

【解答】解：（I）证明：因为 $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}_{0}=\mathrm{BD}=1, \mathrm{AB}=\mathrm{C}_{0} \mathrm{D}=\sqrt{2}$ ，所以 $\angle \mathrm{DBC}_{0}=90^{\circ}$ ， $\angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$ ．
因为折叠过程中，$\angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{DBC}_{0}=90^{\circ}$ ，所以 $\mathrm{DB} \perp \mathrm{BC}$ ，又 $\mathrm{DB} \perp \mathrm{BC}_{0}$ ，
故 $\mathrm{DB} \perp$ 平面 $\mathrm{CBC}_{0}$ ．
又 $\mathrm{DB} \subset$ 平面 $\mathrm{ABC}_{0} \mathrm{D}$ ，

所以平面 $\mathrm{ABC}_{0} \mathrm{D} \perp$ 平面 $\mathrm{CBC}_{0}$ ．
（II）解法一：如图，延长 $\mathrm{C}_{0} \mathrm{~B}$ 到 E ，使 $\mathrm{BE}=\mathrm{C}_{0} \mathrm{~B}$ ，连接 AE ， CE 。
因为 AD 平行等于 $\mathrm{BE}, ~ \mathrm{BE}=1, ~ \mathrm{DB}=1, \angle \mathrm{DBE}=90^{\circ}$ ，
所以 AEBD 为正方形， $\mathrm{AE}=1$ 。
由于 $\mathrm{AE}, \mathrm{DB}$ 都与平面 $\mathrm{CBC}_{0}$ 垂直，
所以 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{CE}$ ，可知 $\mathrm{AC}>1$ ．
因此只有 $\mathrm{AC}=\mathrm{AB}=\sqrt{2}$ 时，$\triangle \mathrm{ABC}$ 为等腰三角形．
在 Rt $\triangle \mathrm{AEC}$ 中， $\mathrm{CE}=\sqrt{\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AE}^{2}}=1$ ，又 $\mathrm{BC}=1$ ，
所以 $\triangle \mathrm{CEB}$ 为等边三角形，$\angle \mathrm{CBE}=60^{\circ}$ ．
由（ I ）可知， $\mathrm{CB} \perp \mathrm{BD}, ~ \mathrm{~EB} \perp \mathrm{BD}$ ，
所以 $\angle \mathrm{CBE}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的平面角，
即二面角 A－BD－C 的大小为 $60^{\circ}$ 。

解法二：以 D 为坐标原点，射线 $\mathrm{DA}, \mathrm{DB}$ 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴，
建立如图的空间直角坐标系 $\mathrm{D}-\mathrm{xyz}$ ，
则 $\mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,1,0), \mathrm{D}(0,0,0)$ 。
由（I）可设点 C 的坐标为 $(\mathrm{x}, 1, \mathrm{z})$ ，其中 $\mathrm{z}>0$ ，则有 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{z}^{2}=1$ ．①
因为 $\triangle A B C$ 为等腰三角形，所以 $A C=1$ 或 $A C=\sqrt{2}$ ．
若 $\mathrm{AC}=1$ ，则有 $(\mathrm{x}-1)^{2}+1+\mathrm{z}^{2}=1$ ．
由此得 $x=1, z=0$ ，不合题意。
若 $\mathrm{AC}=\sqrt{2}$ ，则有 $(\mathrm{x}-1)^{2}+1+\mathrm{z}^{2}=2$ ．②
联立①和②得 $\mathrm{x}=\frac{1}{2}, \mathrm{z}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．故点 C 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ．
由于 $\mathrm{DA} \perp \mathrm{BD}, ~ \mathrm{BC} \perp \mathrm{BD}$ ，所以 $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ 夹角的大小等于二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的大小。
又 $\overrightarrow{\mathrm{DA}}=(1,0,0), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \cos <\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}>=\frac{\overrightarrow{\mathrm{DA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{DA}}||\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}=\frac{1}{2}$ ．
所以 $<\overrightarrow{\mathrm{DA}}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}>=60^{\circ}$ ．
即二面角 A－BD－C 的大小为 $60^{\circ}$ 。

【点评】本题考查空间的位置关系可空间二面角的求法，考查运算能力和空间想象能力．