19． （15 分）
$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，$a_{1}=b_{1}=2, a_{2}=b_{2}+1, a_{3}=b_{3}$ ．
（1） 求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通顶公式；
② $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ 有 $T_{n}=\left\{p_{1} a_{1} b_{1}+p_{2} a_{2} b_{2}+\cdots+p_{n} a_{n} b_{n} \mid p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n} \in I\right\}, I=\{0,1\}$ 。
（i） 求证：$\forall t \in T_{n}$ ，均有 $t<a_{n+1} b_{n+1}$ ；
（ii） 求 $T_{n}$ 所有元元之和．
参考答案
(1) a_{n}=3 n-1, b_{n}=2^{n}; (2) $2^{n-1} \cdot\left[8+(3 n-4) 2^{n+1}\right]$