（本小题满分 12 分）设 A B C 的内角 A, B,…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）略；（II）$A=30^{\circ}, B=120^{\circ}, C=30^{\circ}$ ．

## 【解析】

试题分析：（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin A}{\sin B}$ ，所以 $\sin B=\cos A$ ；（II）根据两角和公式化简所给条件可得 $\sin C-\sin A \cos B=\cos A \sin B=\frac{3}{4}$ ，可得 $\sin ^{2} B=\frac{3}{4}$ ，结合所给角 B 的范围可得角 B ，进而可得角 A ，由三角形内角和可得角 C 。
试题解析：（I）由 $a=b \tan A$ 及正弦定理，得 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$ ，所以 $\sin B=\cos A$ 。
（II）因为 $\sin C-\sin A \cos B=\sin \left[180^{\circ}-(A+B)\right]-\sin A \cos B$
$=\sin (A+B)-\sin A \cos B=\sin A \cos B+\cos A \sin B-\sin A \cos B=\cos A \sin B$
$\therefore \cos A \sin B=\frac{3}{4}$
有（I）知 $\sin B=\cos A$ ，因此 $\sin ^{2} B=\frac{3}{4}$ ，又 B 为针角，所以 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
故 $B=120^{\circ}$ ，由 $\cos A=\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 知 $A=30^{\circ}$ ，从而 $C=180^{\circ}-(A+B)=30^{\circ}$ ，
综上所述，$A=30^{\circ}, B=120^{\circ}, C=30^{\circ}$ ，

【考点定位】正弦定理及其运用
【名师点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷。如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。