已知 b 是 a, c 的等差中项, 直线 ax + by…——2024 高考数学第 12 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】结合等差数列性质将 c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为 $a, b, c$ 成等差数列，所以 $2b = a + c$ ， $c = 2b - a$ ，代入直线方程 $ax + by + c = 0$ 得 $ax + by + 2b - a = 0$ ，即 $a(x - 1) + b(y + 2) = 0$ ，令 $\left\{ \begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{array} \right.$ 得 $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = -2 \end{array} \right.$ ，故直线恒过 $(1, -2)$ ，设 $P(1, -2)$ ，圆化为标准方程得： $C: x^2 + (y + 2)^2 = 5$ ，设圆心为 $C$ ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 $PC \perp AB$ 时， $\left|AB\right|$ 最小， $\left|PC\right| = 1, \left|AC\right| = \left|r\right| = \sqrt{5}$ ，此时 $\left|AB\right| = 2 \left|AP\right| = 2\sqrt{AC^2 - PC^2} = 2\sqrt{5 - 1} = 4$ .

故选：C