选修 4－5：不等式选讲 已知关于 x 的不等式 |x+a…——2015 高考数学第 24 题答案解析

【答案】（I）$a=-3, b=1$；（II） 4．

【解析】

试题分析：（I）由 $|x+a|<b$，得 $-b-a<x<b-a$，由题意得 $\left\{\begin{array}{l}-b-a=2 \\ b-a=4\end{array}\right.$，解得 $a=-3, b=1$；
（II）柯西不等式得 $\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t}=\sqrt{3} \sqrt{4-t}+\sqrt{t} \leq \sqrt{\left[(\sqrt{3})^{2}+1^{2}\right]\left[(\sqrt{4-t})^{2}+(\sqrt{t})^{2}\right.} =2 \sqrt{4-t+t}=4$，当且仅当 $\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{t}}{1}$ 即 $t=1$ 时等号成立，故 $(\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t})_{\max }=4$．

试题解析：（I）由 $|x+a|<b$，得 $-b-a<x<b-a$
则 $\left\{\begin{array}{l}-b-a=2 \\ b-a=4\end{array}\right.$，解得 $a=-3, b=1$．
（II）$\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t}=\sqrt{3} \sqrt{4-t}+\sqrt{t} \leq \sqrt{\left[(\sqrt{3})^{2}+1^{2}\right]\left[(\sqrt{4-t})^{2}+(\sqrt{t})^{2}\right.}$
$=2 \sqrt{4-t+t}=4$

当且仅当 $\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{t}}{1}$ 即 $t=1$ 时等号成立，
故 $(\sqrt{-3 t+12}+\sqrt{t})_{\max }=4$
【考点定位】1．绝对值不等式和方程；2．柯西不等式．
【名师点睛】①零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间．去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；②要注意区别不等式与方程区别；③用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件。