【解答】
（14分）
考点 函数与方程的综合运用．
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专题 综合题；导数的综合应用。
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分析①由题意知，点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 的坐标分别为 $(5,40),(20,2.5)$ ，将其分别代入 $\mathrm{y}=$ ：$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{b}}$ ，建立方程组，即可求 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值；
（2）（1）求出切线 1 的方程，可得 A ， B 的坐标，即可写出公路 1 长度的函数解析式 $\mathrm{f}(\mathrm{t}$ ），并写出其定义域；
②设 $g(t)=t^{2}+\frac{4 \times 10^{6}}{t^{4}}$ ，利用导数，确定单调性，即可求出当 $t$ 为何值时，公路 1的长度最短，并求出最短长度．
解答 解：（1）由题意知，点 M ， N 的坐标分别为 $(5,40),(20,2.5)$ ，
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将其分别代入 $y=\frac{a}{x^{2}+b}$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{25+b}=40 \\ \frac{a}{400+b}=2.5\end{array}\right.$ ，
解得 $\left\{\begin{array}{l}a=1000 \\ b=0\end{array}\right.$ ，
（2）①由① $\mathrm{y}=\frac{1000}{\mathrm{x}^{2}}(5 \leq \mathrm{x} \leq 20), \mathrm{P}\left(\mathrm{t}, \frac{1000}{\mathrm{t}^{2}}\right)$ ，
$\therefore \mathrm{y}^{\prime}=-\frac{2000}{\mathrm{t}^{3}}$ ，
∴ 切线 1 的方程为 $\mathrm{y}-\frac{1000}{\mathrm{t}^{2}}=-\frac{2000}{\mathrm{t}^{3}}(\mathrm{x}-\mathrm{t})$
设在点 P 处的切线 1 交 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 轴分别于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 点，则 $\mathrm{A}\left(\frac{3 \mathrm{t}}{2}, 0\right), \mathrm{B}\left(0, \frac{3000}{\mathrm{t}^{2}}\right)$ ，
$\therefore f(t)=\sqrt{\left(\frac{3 t}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3000}{t^{2}}\right)^{2}}=\frac{3}{2} \sqrt{t^{2}+\frac{4 \times 10^{6}}{t^{4}}}, t \in[5,20]$ ；
②设 $g(t)=t^{2}+\frac{4 \times 10^{6}}{t^{4}}$ ，则 $g^{\prime}(t)=2 t-\frac{16 \times 10^{6}}{t^{5}}=0$ ，解得 $t=10 \sqrt{2}$ ，
$t \in(5,10 \sqrt{2})$ 时，$g^{\prime}(t)<0, g(t)$ 是减函数；$t \in(10 \sqrt{2}, 20)$ 时，$g^{\prime}(t)>0$ ,$g(t)$ 是增函数，
从而 $\mathrm{t}=10 \sqrt{2}$ 时，函数 $\mathrm{g}(\mathrm{t})$ 有极小值也是最小值，
$\therefore g(t)$ min $=300$ ，
∴ $\mathrm{f}(\mathrm{t}) \min =15 \sqrt{3}$ ，
答： $\mathrm{t}=10 \sqrt{2}$ 时，公路 1 的长度最短，最短长度为 $15 \sqrt{3}$ 千米．
点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系， ：正确求导是关键．
