17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_{1}, l_{2}$ ，山区边界曲线为 C ，计划修建的公路为 l ，如图所示， $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 为 C 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 $N$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，
以 $\mathrm{l}_{2}, \mathrm{l}_{1}$ 在的直线分别为 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 轴，建立平面直角坐标系 xOy ，假设曲线 C 符合函数 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{b}}$（其中 $a$ ，$b$ 为常数）模型。
（1）求 $a$ ，$b$ 的值；
②设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t ．
（1）请写出公路 1 长度的函数解析式 $\mathrm{f}(\mathrm{t})$ ，并写出其定义域；
（2）当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．