2021_全国乙卷
16. 用插针法测量上、下表面平行的玻璃砖的折射率。实验中用A、B两个大头针确定入射光路、C、D 两个大头针确定出射光路，O 和 $O ^ { \prime }$ 分别是入射点和出射点，如图（a）所示。测得玻璃砖厚度为$h = 1 5 . 0 \mathrm { m m }$ ，A 到过O 点的法线OM 的距离 $A M = 1 0 . 0 \mathrm { m m }$ ，M到玻璃砖的距离 $M O = 2 0 . 0 \mathrm { m m }$ $O ^ { \prime }$
到OM 的距离为 $s = 5 . 0 \mathrm { m m }$ 0
（ⅰ）求玻璃砖 折射率；的
（ⅱ）用另一块材料相同，但上下两表面不平行的玻璃砖继续实验，玻璃砖的截面如图（b）所示。光从上表面入射，入时角从0逐渐增大，达到 $4 5 ^ { \circ }$ 时，玻璃砖下表面的出射光线恰好消失。求此玻璃砖上下表面的夹角。
图（a）
图（b）
（i） $\sqrt { 2 }$ （ii） $1 5 ^ { \circ }$
【答案】（i） $\sqrt { 2 }$ （ii） $1 5 ^ { \circ }$
【解析】
【分析】
【详解】（i）从O 点射入时，设入射角为α，折射角为 $\beta _ { \mathsf { c } }$ 。根据题中所给数据可得：
$$ \sin \alpha = { \frac { 1 0 . 0 } { \sqrt { 1 0 . 0 ^ { 2 } + 2 0 . 0 ^ { 2 } } } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } } $$
$$ \sin \beta = { \frac { 5 . 0 } { \sqrt { 1 5 . 0 ^ { 2 } + 5 . 0 ^ { 2 } } } } = { \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } } $$
再由折射定律可得玻璃砖的折射率：
$$ n = { \frac { \sin \alpha } { \sin \beta } } = { \sqrt { 2 } } $$
（ii）当入射角为 $4 5 ^ { \circ }$ 时，设折射角为 $\gamma _ { : }$ ，由折射定律：
$$ n = \frac { \sin { 4 5 ^ { \circ } } } { \sin { \gamma } } $$
$$ \gamma = 3 0 ^ { \circ } $$
再设此玻璃砖上下表面的夹角为θ，光路图如下：
而此时出射光线恰好消失，则说明发生全反射，有：
$$ \sin C = { \frac { 1 } { n } } $$
解得：
$$ C = 4 5 ^ { \circ } $$
由几何关系可知：
$$ \theta + 3 0 ^ { \circ } = C $$
即玻璃砖上下表面的夹角：
$$ \theta = 1 5 ^ { \circ } $$