2012 高考数学第 21 题答案解析

22．（本小题满分 14 分）
（1）已知函数 $f(x)=r x-x^{r}+(1-r)(x>0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0（II）试用（I）的结果证明如下命题：
设 $\mathrm{a}_{1} \geqslant 0, \mathrm{a}_{2} \geqslant 0, \mathrm{~b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}$ 为正有理数，若 $\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}=1$ ，则 $\mathrm{a}_{1}{ }^{\mathrm{b} 1} \mathrm{a}_{2}{ }^{\mathrm{b} 2} \leqslant \mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{~b}_{2}$ ；
（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当 a为正有理数时，有求道公式 $\left(x^{\alpha}\right)^{r}=\alpha x^{\alpha-1}$