2014_退役省自主命题 (2014·理)
18．（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$ ，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上
（1）若 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$ ，求 $|\overrightarrow{O P}|$ ；
②设 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$ ，用 $x, y$ 表示 $m-n$ ，并求 $m-n$ 的最大值。
【答案】（1） $2 \sqrt{2}$ ；（2）$m-n=y-x, 1$ ．
## 【解析】
试题分析：（1）因为 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$ ，所以 $(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O P})+(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O P})+(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O P})=\overrightarrow{0}$ ，即得 $\overrightarrow{O P}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=(2,2)$ ，最后求得 $|\overrightarrow{O P}|=2 \sqrt{2}$ ；
（2）因为 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$ ，所以 $(x, y)=(m+2 n, 2 m+n)$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x=m+2 n \\ y=2 m+n\end{array}\right.$ ，两式相减得：$m-n=y-x$
今 $y-x=t$ ，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上，当直线 $y=x+t$ 过点 $B(2,3)$ 时，$t$ 取得最大值 1 ，故 $m-n$ 的最大值为 1 ．
试题解析：（1）因为 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$
所以 $(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O P})+(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O P})+(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O P})=\overrightarrow{0}$
即得 $\overrightarrow{O P}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C})=(2,2)$
所以 $|\overrightarrow{O P}|=2 \sqrt{2}$
②$\because \overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$
$\therefore(x, y)=(m+2 n, 2 m+n)$
即 $\left\{\begin{array}{l}x=m+2 n \\ y=2 m+n\end{array}\right.$
两式相减得：$m-n=y-x$
今 $y-x=t$ ，由图可知，当直线 $y=x+t$ 过点 $B(2,3)$ 时，$t$ 取得最大值 1 ，故 $m-n$ 的最大值为 1 ．
考点：平面向量的线性运算；线性规划．