2024_江苏卷
14. 如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为 $\mu ,$ ，倾角为 $\theta ,$ ，斜面长为 $L _ { \circ }$ 。一个质量为 m 的物块，在电动机作用下，从 A点由静止加速至 B点时达到最大速度v，之后作匀速运动至C点，关闭电动机，从 C点又恰好到达最高点D。求：
①CD 段长 x；
（2）BC段电动机的输出功率 $P ;$
（3）全过程物块增加的机械能 $E _ { 1 }$ 和电动机消耗的总电能 $E _ { 2 }$ 的比值。
(1) ${ \frac { \nu ^ { 2 } } { 2 g { \left( \sin \theta + \mu \cos \theta \right) } } } ,$; (2) $m g \nu \big ( \sin \theta + \mu \cos \theta \big )$; (3) $\frac { \sin \theta } { \sin \theta + \mu \cos \theta }$
【答案】（1） ${ \frac { \nu ^ { 2 } } { 2 g { \left( \sin \theta + \mu \cos \theta \right) } } } ,$ ；（2） $m g \nu \big ( \sin \theta + \mu \cos \theta \big )$ ；（3） $\frac { \sin \theta } { \sin \theta + \mu \cos \theta }$
【解析】
【详解】（1）物块在CD 段运动过程中，由牛顿第二定律得
$$ m g \sin \theta + \mu m g \cos \theta = m a $$
由运动学公式
$$ 0 - v ^ {2} = - 2 a x $$
联立解得
$$ x = \frac {v ^ {2}}{2 g (\sin \theta + \mu \cos \theta)} $$
（2）物块在BC段匀速运动，得电动机的牵引力为
$$ F = m g \sin \theta + \mu m g \cos \theta $$
由 $P = F \nu$ 得
$$ P = m g v \big (\sin \theta + \mu \cos \theta \big) $$
（3）全过程物块增加的机械能为
$$ E _ {1} = m g L \sin \theta $$
整个过程由能量守恒得电动机消耗的总电能转化为物块增加的机械能和摩擦产生的内能，故可知
$$ E _ {2} = E _ {1} + \mu m g \cos \theta \cdot L $$
故可得
$$ \frac {E _ {1}}{E _ {2}} = \frac {m g L \sin \theta}{m g L \sin \theta + \mu m g L \cos \theta} = \frac {\sin \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta} $$