已知 A(0,3) 和 P ( 3 , 3 2 ) 为椭圆…——2024 高考数学第 16 题答案解析

【解析】

【分析】（1）代入两点得到关于 $^ { a , b }$ 的方程，解出即可；

（2）方法一：以 $\left| A P \right|$ 为底，求出三角形的高，即点B到直线 $A P$ 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B到直线 $A P$ 的距离，再设 $B \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 B到直线 $A P$ 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线 AB 斜率不存在的情况，再设直线$y = k x + 3$ ，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设 $P B : y - { \frac { 3 } { 2 } } = k ( x - 3 )$ ，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 $\frac { 1 } { 2 }$ 表达面积即可.

【小问1详解】

由题意得 $\left\{ { \begin{array} { c } { b = 3 } \\ { \displaystyle { \frac { 9 } { { a } ^ { 2 } } } + { \frac { \frac { 9 } { 4 } } { b ^ { 2 } } } = 1 } \end{array} } \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l } { { b ^ { 2 } = 9 } } \\ { { a ^ { 2 } = 1 2 } } \end{array} \right. ,$

所以 $e = { \sqrt { 1 - { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } } } = { \sqrt { 1 - { \frac { 9 } { 1 2 } } } } = { \frac { 1 } { 2 } }$

【小问 2 详解】

法一： $k _ { _ { A P } } = \frac { 3 - \displaystyle \frac { 3 } { 2 } } { 0 - 3 } = - \frac { 1 } { 2 }$ ，则直线AP的方程为 $y = - { \frac { 1 } { 2 } } x + 3$ ，即 $x + 2 y - 6 = 0$ 4

$\left| A P \right| = { \sqrt { \left( 0 - 3 \right) ^ { 2 } + \left( 3 - { \frac { 3 } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 2 } }$ ，由①知 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$

设点B到直线AP的距离为 $d$ ，则 $d = { \frac { 2 \times 9 } { \frac { 3 { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } = { \frac { 1 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

则将直线 $A P$ 沿着与AP垂直的方向平移 $\frac { 1 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$ 单位即可，

此时该平行线与椭圆的交点即为点B，

设该平行线 方程为：的 $x + 2 y + C = 0$

则 ${ \frac { \left| C + 6 \right| } { \sqrt { 5 } } } = { \frac { 1 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$ ，解得C = 6 或C = -18 ，

当 $C = 6$ 时，联立 $\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 } } \\ { { \displaystyle x + 2 y + 6 = 0 } } \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l l } { x = 0 } \\ { y = - 3 } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l l } { { x = - 3 } } \\ { { } } \\ { { y = - { \cfrac { 3 } { 2 } } } } \end{array} \right.$

即B(0,-3)或 $\left( - 3 , - { \frac { 3 } { 2 } } \right)$

当B(0,-3)时，此时 $k _ { \scriptscriptstyle { l } } = \frac { 3 } { 2 }$ ，直线l的方程为 $y = \frac { 3 } { 2 } x - 3$ ，即 $3 x - 2 y - 6 = 0$

当 $B \left( - 3 , - { \frac { 3 } { 2 } } \right)$ 时，此时 $k _ { \scriptscriptstyle { l } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，直线l的方程为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } x$ ，即 $x - 2 y = 0$

当 $C = - 1 8$ 时，联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 } \\ { x + 2 y - 1 8 = 0 } \end{array} } \right.$ 得 $2 y ^ { 2 } - 2 7 y + 1 1 7 = 0$ 0

$\Delta = 2 7 ^ { 2 } - 4 \times 2 \times 1 1 7 = - 2 0 7 < 0$ ，此时该直线与椭圆无交点.

综上直线l的方程为 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 或 $x - 2 y = 0$

法二：同法一得到直线AP的方程为 $x + 2 y - 6 = 0$

点B到直线AP的距离 $d = { \frac { 1 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$

设 $B \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ，则 $\left\{ \begin{array} { c } { \displaystyle { \frac { \left| x _ { 0 } + 2 y _ { 0 } - 6 \right| } { \sqrt { 5 } } = \frac { 1 2 \sqrt { 5 } } { 5 } } } \\ { \displaystyle { \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { 9 } = 1 } } \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ { { x } _ { 0 } } = - 3 \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l l } { x _ { 0 } = 0 } \\ { y _ { 0 } = - 3 } \end{array} \right. ,$ 即 B(0,-3)或 $\left( - 3 , - { \frac { 3 } { 2 } } \right)$ ，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为 $x + 2 y - 6 = 0$ 点B到直线AP的距离 $d = \frac { 1 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ 设 $B \Big ( 2 \sqrt { 3 } \cos \theta , 3 \sin \theta \Big )$ ，其中 $\theta \in \left[ 0 , 2 \pi \right)$ ，则有 $\frac { \left| 2 { \sqrt { 3 } } \cos \theta + 6 \sin \theta - 6 \right| } { \sqrt { 5 } } = { \frac { 1 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$ 联立 $\cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta = 1$ ，解得 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \cos \theta = - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \\ { \displaystyle \sin \theta = - \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$ 或 $\left\{ \begin{array} { l l } { \cos \theta = 0 } \\ { \sin \theta = - 1 } \end{array} \right. ,$ 即 B(0,-3)或 $\left( - 3 , - { \frac { 3 } { 2 } } \right)$ ，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 $B ( 0 , - 3 )$ $S _ { _ { \Delta P A B } } = \frac 1 2 \times 6 \times 3 = 9$ ，符合题意，此时 $k _ { \scriptscriptstyle { l } } = \frac { 3 } { 2 }$ ，直线l的方程为 $y = \frac { 3 } { 2 } x - 3$ ，即 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 $y = k x + 3$ 联立椭圆方程有 $\left\{ { \frac { y = k x + 3 } { 1 2 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 9 } } = 1 \right.$ ，则 $\left( 4 k ^ { 2 } + 3 \right) x ^ { 2 } + 2 4 k x = 0$ ，其中 $k \neq k _ { _ { A P } }$ ，即 $k \neq - \frac { 1 } { 2 }$ 解得x = 0 或 $x = \frac { - 2 4 k } { 4 k ^ { 2 } + 3 } , k \neq 0 , k \neq - \frac { 1 } { 2 }$ 令 $x = \frac { - 2 4 k } { 4 k ^ { 2 } + 3 }$ ，则 $y = \frac { - 1 2 k ^ { 2 } + 9 } { 4 k ^ { 2 } + 3 }$ ，则 $B \left( \frac { - 2 4 k } { 4 k ^ { 2 } + 3 } , \frac { - 1 2 k ^ { 2 } + 9 } { 4 k ^ { 2 } + 3 } \right)$ 同法一得到直线AP的方程为 $x + 2 y - 6 = 0$ 点B到直线AP的距离 $d = \frac { 1 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$

则 $\frac { \left| \frac { - 2 4 k } { 4 k ^ { 2 } + 3 } + 2 \times \frac { - 1 2 k ^ { 2 } + 9 } { 4 k ^ { 2 } + 3 } - 6 \right| } { \sqrt { 5 } } = \frac { 1 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ ，解得 $k = \frac { 3 } { 2 }$

此时 $B \left( - 3 , - { \frac { 3 } { 2 } } \right)$ ，则得到此时 $k _ { \scriptscriptstyle { l } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，直线l的方程为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } x$ ，即 $x - 2 y = 0$

综上直线l的方程为 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 或 $x - 2 y = 0$

法五：当l的斜率不存在时， $l : x = 3 , B \left( 3 , - \frac { 3 } { 2 } \right) , \left| P B \right| = 3 , A$ 到PB距离 $d = 3$

此时 $S _ { _ { \triangle A B P } } = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 3 = \frac { 9 } { 2 } \neq 9$ 不满足条件.

当l的斜率存在时，设 $P B : y - { \frac { 3 } { 2 } } = k ( x - 3 )$ ，令 $P \big ( x _ { 1 } , y _ { 1 } \big ) , B \big ( x _ { 2 } , y _ { 2 } \big )$

$\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = k ( x - 3 ) + \frac { 3 } { 2 } } \\ { \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 1 2 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 } \end{array} \right.$ _，消y_可得 $\left( 4 k ^ { 2 } + 3 \right) x ^ { 2 } - \left( 2 4 k ^ { 2 } - 1 2 k \right) x + 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 = 0$

$\Delta = \Big ( 2 4 k ^ { 2 } - 1 2 k \Big ) ^ { 2 } - 4 \Big ( 4 k ^ { 2 } + 3 \Big ) \Big ( 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 \Big ) > 0$ ，且 $k \neq k _ { _ { A P } }$ ，即 $k \neq - \frac { 1 } { 2 }$

$$ \left\{\begin{array}{l}x _ {1} + x _ {2} = \frac {2 4 k ^ {2} - 1 2 k}{4 k ^ {2} + 3}\\x _ {1} x _ {2} = \frac {3 6 k ^ {2} - 3 6 k - 2 7}{4 k ^ {2} + 3}\end{array}, \left| P B \right| = \sqrt {k ^ {2} + 1} \sqrt {\left(x _ {1} + x _ {2}\right) ^ {2} - 4 x _ {1} x _ {2}} = \frac {4 \sqrt {3} \sqrt {k ^ {2} + 1} \sqrt {3 k ^ {2} + 9 k + \frac {2 7}{4}}}{4 k ^ {2} + 3} \right., \left. \right. $$

A到直线PB距离 $d = \frac { \left| 3 k + \frac { 3 } { 2 } \right| } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } , S _ { \scriptscriptstyle \Delta P A B } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 4 \sqrt { 3 } \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } \sqrt { 3 k ^ { 2 } + 9 k + \frac { 2 7 } { 4 } } } { 4 k ^ { 2 } + 3 } \cdot \frac { \left| 3 k + \frac { 3 } { 2 } \right| } { \sqrt { k ^ { 2 } + 1 } } = 9 \ ,$

$\therefore k = \frac { 1 } { 2 }$ 或 $\frac { 3 } { 2 }$ ，均满足题意， $\therefore l : y = \frac { 1 } { 2 } x$ 或 $y = \frac { 3 } { 2 } x - 3$ ，即 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 或 $x - 2 y = 0$

法六：当l的斜率不存在时， $l : x = 3 , B \bigg ( 3 , - \frac { 3 } { 2 } \bigg ) , \big | P B \big | = 3 , \mathcal { A }$ 到PB距离 $d = 3$

此时 $S _ { _ { \triangle A B P } } = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 3 = \frac { 9 } { 2 } \neq 9$ 不满足条件.

当直线l斜率存在时，设 $l : y = k ( x - 3 ) + \frac { 3 } { 2 }$

设l与^y轴的交点为Q，令x =0，则 $Q { \Bigg ( } 0 , - 3 k + { \frac { 3 } { 2 } } { \Bigg ) }$ 联立 $\left\{ \begin{array} { l } { { y = k x - 3 k + \frac { 3 } { 2 } } } \\ { { 3 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 3 6 } } \end{array} \right.$ ，则有 $\left( 3 + 4 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 8 k \left( 3 k - { \frac { 3 } { 2 } } \right) x + 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 = 0$ $\left( 3 + 4 k ^ { 2 } \right) x ^ { 2 } - 8 k \left( 3 k - { \frac { 3 } { 2 } } \right) x + 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 = 0$ 其中 $\Delta = 8 k ^ { 2 } \bigg ( 3 k - \frac { 3 } { 2 } \bigg ) ^ { 2 } - 4 \Big ( 3 + 4 k ^ { 2 } \Big ) \Big ( 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 \Big ) > 0$ ，且 $k \neq - \frac { 1 } { 2 }$ 则 $3 x _ { _ B } = { \frac { 3 6 k ^ { 2 } - 3 6 k - 2 7 } { 3 + 4 k ^ { 2 } } } , x _ { _ B } = { \frac { 1 2 k ^ { 2 } - 1 2 k - 9 } { 3 + 4 k ^ { 2 } } }$ 则 $S = \frac { 1 } { 2 } \big | A Q \big | \big | x _ { P } - x _ { B } \big | = \frac { 1 } { 2 } \bigg | 3 k + \frac { 3 } { 2 } \bigg | \bigg | \frac { 1 2 k + 1 8 } { 3 + 4 k ^ { 2 } } \bigg | = 9$ ，解的 $k = \frac 1 2$ 或 $k = \frac { 3 } { 2 }$ ，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } .$ x 或 $y = \frac { 3 } { 2 } x - 3$ ，即 $3 x - 2 y - 6 = 0$ 或 $x - 2 y = 0$