设函数 f(x)=|x-a|+3 x，其中 a>0 ． （…——2011 高考数学第 24 题答案解析

【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】（I）当 $a=1$ 时，$f(x) \geq 3 x+2$ 可化为 $|x-1| \geq 2$ ．直接求出不等式 $f(x$ ）$\geq 3 x+2$ 的解集即可。
（II）由 $f(x) \leq 0$ 得 $|x-a|+3 x \leq 0$ 分 $x \geq a$ 和 $x \leq a$ 推出等价不等式组，分别求解，然后求出 a 的值．

【解答】解：（ I ）当 $a=1$ 时，$f(x) \geq 3 x+2$ 可化为
$|x-1| \geq 2$ ．
由此可得 $x \geq 3$ 或 $x \leq-1$ ．
故不等式 $f(x) \geq 3 x+2$ 的解集为
$\{x \mid x \geq 3$ 或 $x \leq-1\}$ 。

（II）由f（x）$\leq 0$ 得
$|x-a|+3 x \leq 0$
此不等式化为不等式组
$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant a \\ x-a+3 x \leqslant 0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant a \\ a-x+3 x \leqslant 0\end{array}\right.$
即 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant a \\ x \leqslant \frac{a}{4}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leqslant a \\ x \leqslant-\frac{a}{2}\end{array}\right.$
因为 $a>0$ ，所以不等式组的解集为 $\left\{x \left\lvert\, x \leqslant-\frac{a}{2}\right.\right\}$
由题设可得 $-\frac{a}{2}=-1$ ，故 $a=2$
【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用 ，考查计算能力，常考题型。