16．给定 $k \in N^{*}$ ，设函数 $f: N^{*} \rightarrow N^{*}$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n, f(n)=n-k$
①设 $k=1$ ，则其中一个函数 $f$ 在 $n=1$ 处的函数值为 $\_\_\_\_$ ；
②设 $k=4$ ，且当 $n \leq 4$ 时， $2 \leq f(n) \leq 3$ ，则不同的函数 $f$ 的个数为 $\_\_\_\_$。
给定 k N^ *，设函数 f: N^ * N^ * 满足…——2011 高考数学第 16 题答案解析
2011_退役省自主命题 (2011·文)
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【解答】
（2011•湖南）给定 $k \in N^{*}$ ，设函数 $f: N^{*} \rightarrow N^{*}$ 满足：对于任意大于 $k$ 的正整数 $n: f(n)=n-k$
①设 $k=1$ ，则其中一个函数 $f(x)$ 在 $n=1$ 处的函数值为 $a$（ $a$ 为正整数）；
②设 $k=4$ ，且当 $n \leqslant 4$ 时， $2 \leqslant f(n) \leqslant 3$ ，则不同的函数 $f$ 的个数为 $\_\_\_\_$ 16 ．
考点：函数的概念及其构成要素；分步乘法计数原理。
专题：计算题；探究型。
分析：题中隐含了对于小于或等于 $K$ 的正整数 $n$ ，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定
（1）$n=k=1$ ，题中给出的条件＂大于 $k$ 的正整数 $n$＂不适合，但函数值必须是一个正整数，故 $f($ 1）的值是一个常数（正整数）；
②$k=4$ ，且 $n \leqslant 4$ ，与条件＂大于 $k$ 的正整数 $n$＂不适合，故 $f(n)$ 的值在 $2 , 3$ 中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数．
解答：解：（1）$\because n=1, k=1$ 且 $f(1)$ 为正整数
$\therefore f(1)=a(a$ 为正整数 $)$
即 $f(x)$ 在 $n=1$ 处的函数值为 $a(a$ 为正整数）
②$\because n \leqslant 4, k=4 f(n)$ 为正整数且 $2 \leqslant f(n) \leqslant 3$
$\therefore f(1)=2$ 或 3 且 $f(2)=2$ 或 3 且 $f(3)=2$ 或 3 且 $f(4)=2$ 或 3
根据分步计数原理，可得共 $2^{4}=16$ 个不同的函数
故答案为①$a$（ $a$ 为正整数）
（2） 16
点评：本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点．
✅ 来源：2011年 · 全国 · 2011_退役省自主命题 (2011·文) · 第 16 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验