（18）（本小题满分 12 分） 由四棱柱 A B C D…——2017 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
证明：
①取 $B_{1} D_{1}$ 的中点 $O_{1}$ ，连接 $C O_{1}, A_{1} O_{1}$

由于 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是四棱柱，

所以 $A_{1} O_{1} / / O C, A_{1} O_{1}=O C$ ，

因此 四边形 $A_{1} O C O_{1}$ 为平行四边形，

所以 $A_{1} O / / O_{1} C$ ，

又 $\quad O_{1} C \subset$ 平面 $B_{1} C D_{1}, \quad A_{1} O \not \subset$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，

所以 $A_{1} O / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，
②因为 $A C \perp B D, E, M$ 分别为 $A D$ 和 $O D$ 的中点，
所以 $E M \perp B D$ ，
又 $A_{1} E \perp$ 平面 $A B C D, B D \subset$ 平面 $A B C D$ ，

所以 $\quad A_{1} E \perp B D$ ，

因为 $B_{1} D_{1} / / B D$

所以 $E M \perp B_{1} D_{1}, A_{1} E \perp B_{1} D_{1}$ ，

又 $\quad A_{1} E, E M \subset$ 平面 $A_{1} E M, A_{1} E \cap E M=E$ ，

所以 $\quad B_{1} D_{1} \perp$ 面 $A_{1} E M$ ，

又 $\quad B_{1} D_{1} \subset$ 面 $B_{1} C D_{1}$ ，

所以 平面 $A_{1} E M \perp$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 。

【解答】
证明：（I）取 $B_{1} D_{1}$ 的中点 $O_{1}$ ，连接 $C O$ 目，
由于 $A B C D-A, B C, D$, 起哳柱，
所以 $A_{1} O_{1} \| O C, A_{1} O_{1}=O C, B$

因此 四边形 $A_{1} O C O_{1}$ 为平行四边形，
所以 $A_{1} O \| O_{1} C$ ，
又 $O_{1} C \subset$ 平面 $B_{1} C D_{1}, A_{1} O \subset$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，
所以 $A_{1} O / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ．
（II）因为 $A C \perp B D, E, M$ 分别为 $A D$ 和 $O D$ 的中点，
所以 $E M \perp B D$ ，
又 $A_{1} E \perp$ 平面 $A B C D, B D \subset$ 平面 $A B C D$ ，
所以 $A_{1} E \perp B D$ ，
因为 $B_{1} D_{1} / / B D$ ，
所以 $E M \perp B_{1} D_{1}, A_{1} E \perp B_{1} D_{1}$ ，
又 $A_{1} E, E M \subset$ 平面 $A_{1} E M, A_{1} E \cap E M=E$ ，
所以 $B_{1} D_{1} \perp$ 平面 $A_{1} E M$ ，
又 $B_{1} D_{1} \subset$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ，
所以 平面 $A_{1} E M \perp$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ．

【解答】
（本小题满分 12 分）
由四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1}-B_{1} C D_{1}$ 后得到的几何体如图所示．四边形 $A B C D$ 为正方形，$O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，$E$ 为 $A D$ 的中点，$A_{1} E \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（I）证明：$A_{1} O / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ；
（II）设 $M$ 是 $O D$ 的中点，证明：平面 $A_{1} E M \perp$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ．