2017 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）设集合 $M=\{x \| x-1 \mid<1\}, N=\{x \mid x<2\}$ 则 $M \cap N=$

（2）已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z i=1+i$ ，则 $z^{2}=$

（3）已知 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+5 \leq 0, \\ x+3 \geq 0, \\ y \leq 2,\end{array}\right.$ 则 $z=x+2 y$ 的最大值是

（4）已知 $\cos x=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos 2 x=$

（5）已知命题 $p: \exists x \in R$ ， $x^{2}-x+1 \geq 0$ ；命题 $q$ ：若 $a^{2}<b^{2}$ ，则 $a<b$ ．下列命题为真命题的是

（6）执行右侧的程序框图，当输入的 x 的值为 4 时，输出的 y 的值为 2 ，则空白判断框中的条件可能

（7）函数 $y=\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x$ 最小正周期为

（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为

（9）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}, 0<x<1 \\ 2(x-1), x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(a)=f(a+1)$ ，则 $f\left(\frac{1}{a}\right)=$

（10）若函数 $e^{x} f(x)(e=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数）在 $f(x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f(x)$ 具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是

（11）已知向量 $\mathrm{a}=(2,6), \mathrm{b}=(-1, \lambda)$ ，若 $a / / b$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$。

（12）若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0, b>0)$过点 $(1,2)$ ，则 $2 a+b$ 的最小值为 $\_\_\_\_$  正视图（主视图） － 側祸图（左视图）

（13）由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$  圆柱构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 $\_\_\_\_$。

（14）已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 R 上的偶函数，且 $f(x+4)=f(x-2)$ ．若当 $x \in[-3,0]$ 时， $f(x)=6^{-x}$ ，则 $f(919)=$ $\_\_\_\_$ ．

（15）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右支与焦点为 $F$ 的抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|A F|+|B F|=4|O F|$ ，则该双曲线的渐近线方程为 $\_\_\_\_$

（16）（本小题满分 12 分） 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 和 3 个欧洲国家 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 中选择 2 个国家去旅游。 （I）若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； （II）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选 1 个，求这 2 个国家包括 $A_{1}$ 但不包括 $B$ 的概率。

（17）（本小题满分 12 分） 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{b}=3, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-6, S_{\triangle A B C}=3$ ，求 $A$ 和 $a$ 。

（18）（本小题满分 12 分） 由四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1}-B_{1} C D_{1}$ 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，$O$ 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点，$A_{1} E \perp$ 平面 ABCD ， （I）证明：$A_{1} O \|$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ； （II）设M是 0 D 的中点，证明：平面 $A_{1} E M \perp$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ ． 

（19）（本小题满分 12 分） 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6, a_{1} a_{2}=a_{3}$ （I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式； （II）$\left\{b_{n}\right\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 知 $S_{2 n+1}=b_{n} b_{n+1}$ ，求数列 $\left\{\frac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

（20）（本小题满分 13 分） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ ， （1）当 $a=2$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(3, f(3))$ 处的切线方程； ②设函数 $g(x)=f(x)+(x-a) \cos x-\sin x$ ，讨论 $g(x)$ 的单调性并判断有无极值 ，有极值时求出极值．

（21）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 C截直线 $\mathrm{y}=1$ 所得线段的长度为 $2 \sqrt{2}$ ． （I）求椭圆 C 的方程； （II）动直线 $l: y=k x+m(m \neq 0)$ 交椭圆 C 于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于 0 的对称点，圆 N 的半径为 $|N O|$ ． 设 D 为 AB 的中点， DE ， DF 与圆 N 分别相切于点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，求 $\angle E D F$ 的最小值．