（12分）（2011 •辽宁）如图，四边形 ABCD 为正…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．

【专题】计算题；证明题．

【分析】首先根据题意以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz；
（ I ）根据坐标系，求出 $\overrightarrow{\mathrm{DQ}} , \overrightarrow{\mathrm{DC}} , \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ 的坐标，由向量积的运算易得 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=0, \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=0$ ；进而可得 $P Q \perp D Q, P Q \perp D C$ ，由面面垂直的判定方法，可得证明；
（II）依题意结合坐标系，可得 $\mathrm{B} , \overrightarrow{\mathrm{CB}} , \overrightarrow{\mathrm{BP}}$ 的坐标，进而求出平面的 PBC 的法向量 $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ 与平面 PBQ 法向量 $\vec{\Pi}$ ，进而求出 $\cos <\vec{\Pi}, \overrightarrow{\mathrm{n}}>$ ，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案。

【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空
间直角坐标系D－xyz；
（ I ）依题意有 $Q(1,1,0), ~ C(0,0,1), ~ P(0,2,0)$ ；
则 $\overrightarrow{\mathrm{DQ}}=(1,1,0), \overrightarrow{\mathrm{DC}}=(0,0,1), \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(1,-1,0)$ ，
所以 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DQ}}=0, \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}=0$ ；
即 $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{DQ}, ~ \mathrm{PQ} \perp \mathrm{DC}$,
故 $\mathrm{PQ} \perp$ 平面 DCQ ，
又 $\mathrm{PQ} \subset$ 平面 PQC ，所以平面 $\mathrm{PQC} \perp$ 平面 DCQ ；
（II）依题意，有 $\mathrm{B}(1,0,1)$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=(1,0,0), \overrightarrow{\mathrm{BP}}=(-1,2,-1)$ ；
设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 是平面的PBC法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ -x+2 y-z=0\end{array}\right.$ ，
因此可取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(0,-1,-2)$ ；
设 $\overrightarrow{\mathrm{m}}$ 是平面 PBQ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{~m}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0\end{array}\right.$ ，
可取 $\vec{\Pi}=(1,1)$ ，
所以 $\cos <\vec{\Pi}, \vec{n}>=-\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，
故二面角角 $Q-B P-C$ 的余弦值为 $-\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

【点评】本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算。