2021_上海卷
12．已知 $\theta > 0$ ，存在实数 $\varphi$ ，使得对任意 $n \in N ^ { * }$ $\cos ( n \theta + \varphi ) < { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$ ，则q的最小值是$\frac { 2 \pi } { 5 }$
【思路分析】在单位圆中分析可得 $\theta > \frac { \pi } { 3 }$ ，由 $\frac { 2 \pi } { \theta } \in N ^ { * }$ ，即 $\theta = \frac { 2 \pi } { k }$ $k \in N ^ { * }$ ，即可求得 $\theta$ 的最小值
$\frac { 2 \pi } { 5 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】：在单位圆中分析，由题意可得 $n \theta + \varphi$ 的终边要落在图中阴影部分区域（其中$\angle A O x = \angle B O x = \frac { \pi } { 6 } )$
所以 $\theta > \angle A O B = \frac { \pi } { 3 }$
因为对任意 $n \in N ^ { * }$ 都成立，
所以 $\frac { 2 \pi } { \theta } \in N ^ { * }$ ，即 $\theta = \frac { 2 \pi } { k }$ ， k NÎ \*，
同时 $\theta > \frac { \pi } { 3 }$ ，所以 的最小值为 $\frac { 2 \pi } { 5 }$
故答案为： $\frac { 2 \pi } { 5 }$
【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题