2016_新课标III卷
12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A $\frac 1 3$ B $\frac { 1 } { 2 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为 $1 y = k ( x + a )$ ，分别令$x = - \ c , x = 0$ ，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值
【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
设直线AE的方程为 $y = k ( x + a )$
令 $\mathbf { \bar { x } } = \mathbf { \bar { \mu } } \mathbf { C }$ ，可得 $\textsf { \textbf { M } } ( \mathbf { \Sigma } - \mathbf { \Sigma } \mathbf { c } , \mathbf { \Sigma } \textbf { k } ( \mathbf { a } - \mathbf { c } ) \mathbf { \Sigma } )$ ，令 $\mathbf { \nabla } \times = 0$ ，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H $( 0 , \ \frac { \mathtt { k a } } { 2 } )$
由B，H，M三点共线，可得 $K _ { B H } = k _ { B M }$
即为 $\frac { \frac { k a } { 2 } } { - a } = \frac { k ( a - c ) } { - c - a }$ ，
化简可得 $\frac { \texttt { a - c } } { \texttt { a - c } } = \frac { 1 } { 2 }$ ，即为 $\mathtt { a } = 3 0$
可得 $\scriptstyle \mathtt { e = } \frac { \mathtt { c } _ { = } } { \mathtt { a } } = \frac { 1 } { 3 }$
另解：由 $\triangle A M F \sim \triangle A E O$
可得 $\frac { \mathsf { a } - \mathsf { c } } { \mathsf { a } } { = } \frac { \mathsf { M F } } { \mathsf { O E } }$
由 $\triangle B O H \sim \triangle B F M$
可得 $\frac { a } { a + c } = \frac { O H } { F M } = \frac { O E } { 2 F M }$
即有 $\frac { \cdot 2 ( a - c ) } { a } = \frac { a + c } { a }$ 即 $\mathtt { a } = 3 0$
可得 $\cos \frac { c } { a } = \frac { 1 } { 3 }$
故选：A
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题