设 a, b>0, a+b=5，则 a+1 + b+3 的…——2015 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $3 \sqrt{2}$

【解析】由 $2 a b \leq a^{2}+b^{2}$ 两边同时加上 $a^{2}+b^{2}$
得 $(a+b)^{2} \leq 2\left(a^{2}+b^{2}\right)$ 两边同时开方即得：$a+b \leq \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}(a>0, b>0$ 且当且仅当 $a=b$ 时取＂$=$＂）；

从而有 $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3} \leq \sqrt{2(a+1+b+3)}=\sqrt{2 \times 9}=3 \sqrt{2}$（当且仅当 $a+1=b+3$ ，即 $a=\frac{7}{2}, b=\frac{3}{2}$ 时，＂$=$＂成立）

故填： $3 \sqrt{2}$ ．
【考点定位】基本不等式．
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 $2 a b \leq a^{2}+b^{2}$ 转化为 $a+b \leq \sqrt{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$ （ $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$ 且当且仅当 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$ 时取＂$=$＂）再利用此不等式来求解．本题属于中档题，注意等号成立的条件．