（5分）若函数f ( x ) = ( 1 - x ^ 2…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值

【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用

【分析】由题意得f $( \mathbf { \partial } - \mathbf { 1 } ) \mathbf { \partial } = \mathbf { f } \mathbf { \partial } ( \mathbf { \partial } - \mathbf { 3 } ) \mathbf { \partial } = \mathbf { 0 } \boxed { \mathrm { H } } \mathbf { f } \mathbf { \partial } ( \mathbf { 1 } ) \mathbf { \partial } = \mathbf { f } \mathbf { \partial } ( \mathbf { \partial } - \mathbf { 5 } ) \mathbf { \partial } = \mathbf { 0 }$ ，由此求出a=8且b=15，由此可得f $( \times ) = - x ^ { 4 } - 8 x ^ { 3 } - 1 4 x ^ { 2 } + 8 x + 1 5$ ．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间 $( ~ - ~ \infty , ~ - ~ 2 - \sqrt { 5 } ) ~ , ~ ( ~ - ~ 2 , ~ - ~ 2 + \sqrt { 5 } )$ 上是增函数，在区间 $( - 2 - \sqrt { 5 } , - 2 ) , ( - 2 + \sqrt { 5 } , + \infty )$ 上是减函数，结合f $( \mathbf { \nabla } - 2 - \sqrt { 5 } )$ $= 9 ( - 2 + \sqrt { 5 } ) = 1 6$ ，即可得到f（x）的最大值

【解答】解：∵函数f $( \mathsf { x } ) = ( 1 - \mathsf { x } ^ { 2 } ) ( \mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { a } \mathsf { x } + \mathsf { b } )$ 的图象关于直线x=﹣2对称，$: : f \ ( \ - \ 1 ) \ = \mathbf { f } \ \left( \ - \ 3 \ \right) \ = 0 \boxed { \mathrm { H } } \ \left( \ 1 \ \right) \ = \mathbf { f } \ \left( \ - \ \mathsf { J } \ \right) \ = 0 ,$

5） $+ b ] = 0$

解之得 $\left\{ \begin{array} { l } { { \tt a = 8 } } \\ { { \tt b = 1 5 } } \end{array} \right. ,$

因此， ${ \textbf { \textsf { f } } } ( \mathbf { \textsf { x } } ) = ( 1 - \mathbf { \textsf { x } } ^ { 2 } ) ( \mathbf { \textsf { x } } ^ { 2 } + 8 \mathbf { \textsf { x } } ^ { + } 1 5 ) = - \mathbf { \textsf { x } } ^ { 4 } - 8 \mathbf { \textsf { x } } ^ { 3 } - 1 4 \mathbf { \textsf { x } } ^ { 2 } + 8 \mathbf { \textsf { x } } ^ { + } 1 5$

求导数，得f′ $( \mathsf { x } ) \ = \ - \ 4 \mathsf { x } ^ { 3 } \ - \ 2 4 \mathsf { x } ^ { 2 } \ - \ 2 8 \mathsf { x } + 8$

令f′（x）=0，得 $x _ { 1 } = - 2 - \sqrt { 5 } , x _ { 2 } = - 2 , x _ { 3 } = - 2 + \sqrt { 5 } ,$ 当 $\mathsf { f } \mathsf { x } \in \mathrm { ~ ( ~ - ~ \infty , ~ - ~ 2 ~ - ~ } \sqrt { 5 } \mathrm { ) }$ 时， $\mathsf { f } ^ { \prime } \left( \mathsf { x } \right) > 0$ ；当 $\mathsf { \Pi } | \mathsf { x } \in \mathrm { ~ ( ~ - ~ 2 ~ - ~ } \sqrt { 5 } , \mathrm { ~ - ~ } 2 \mathrm { ) ~ }$ 时， $\mathsf { f } ^ { \prime } \left( \mathsf { x } \right) \ <$ 0；

当 $x \in ( - 2 , - 2 \mathrm { + } \sqrt { 5 } )$ 时， $\mathsf { f } ^ { \prime } \left( \mathsf { x } \right) > 0$ ； 当 $\mathsf { x } \in \mathrm { ~ ( ~ - ~ } 2 \mathsf { + } \sqrt { 5 } , \mathsf { \Gamma } + \infty \mathrm { ) }$ 时， $\mathsf { f } ^ { \prime } \left( \mathsf { x } \right) < 0$ $\therefore { \sf f } \left( \sf x \right)$ 在区间 $( \ - \ \infty , \ - \ 2 - \sqrt { 5 } )$ $( \ - \ 2 , \ \textrm { -- } 2 ^ { + } \sqrt { 5 } )$ 上是增函数，在区间（﹣$2 - { \sqrt { 5 } } , \quad - 2 )$ $( \mathbf { \nabla } - 2 + \sqrt { 5 } , \mathbf { \nabla } + \infty )$ 上是减函数

又∵f $( - 2 - \sqrt { 5 } ) = 5 ( - 2 + \sqrt { 5 } ) = 1 6$

$\therefore { \sf f } \left( \sf x \right)$ 的最大值为16

故答案为：16

【点评】本题给出多项式函数的图象关于 $\mathbf { \hat { x } } = \mathbf { \hat { \mu } } - \mathbf { \hat { \mu } } _ { 2 }$ 对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题