【答案】（1）1.5m；（2）90J，2；（3） $x _ { _ { A C } } = \frac { 7 } { 4 } L _ { _ B }$
【解析】
【详解】（1）机器人从A 木板左端走到A 木板右端，机器人与A 木板组成的系统动量守恒，设机器人质量为M，三个木板质量为m，根据人船模型得
$$
M x = m x _ {1}
$$
同时有
$$
x + x _ {1} = L _ {A}
$$
解得A、B木板间的水平距离
$$
x _ {1} = 1. 5 \mathrm{m}
$$
> ②设机器人起跳的速度大小为v，方向与水平方向的夹角为q，从A 木板右端跳到B木板左端时间为t，根据斜抛运动规律得
$$
v \cos \theta \cdot t = x _ {1}
$$
$$
\frac {v \sin \theta}{g} = \frac {t}{2}
$$
联立解得
$$
v ^ {2} = \frac {1 5}{2 \sin \theta \cos \theta}
$$
机器人跳离A 的过程，系统水平方向动量守恒
$$
M v \cos \theta = m v _ {A}
$$
根据能量守恒可得机器人做的功为
$$
W = \frac {1}{2} M v ^ {2} + \frac {1}{2} m v _ {A} ^ {2}
$$
联立得
$$
W = \frac {3 \cos^ {2} \theta + 1}{2 \sin \theta \cos \theta} \cdot 4 5 \mathrm{J} = \frac {4 \cos^ {2} \theta + \sin^ {2} \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} \cdot 4 5 \mathrm{J} = 4 5 \left(\frac {1}{2} \tan \theta + \frac {2}{\tan \theta}\right) \mathrm{J}
$$
根据数学知识可得当 ${ \frac { 1 } { 2 } } \tan \theta = { \frac { 2 } { \tan \theta } }$ 时，即 $\tan \theta = 2$ 时，W取最小值，代入数值得此时
$$
W = 9 0 \mathrm{J}
$$
（3）根据 $\tan \theta = 2$ 可得 $\nu \cos \theta = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } { \mathrm { m / s } }$ ，根据
$$
M v \cos \theta = m v _ {_ A}
$$
得
$$
v _ {A} = \frac {3 \sqrt {1 5}}{2} \mathrm{m/s}
$$
分析可知A 木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A 木板到与B木板相对静止的过程中，机器人与BC木板组成的系统在水平方向动量守恒，得
$$
M v \cos \theta = (M + 2 m) v _ {\text {共}}
$$
解得
$$
v _ {\text {共}} = \frac {3 \sqrt {1 5}}{1 0} \mathrm{m/s}
$$
该过程A 木板向左运动的距离为
$$
x _ {_ A} = v _ {_ A} t = \frac {3 \sqrt {1 5}}{2} \times \frac {\sqrt {1 5}}{5} \mathrm{m} = 4. 5 \mathrm{m}
$$
机器人连续 3 次等间距跳到 B 木板右端，整个过程机器人和 B 木板组成的系统水平方向动量守恒，设每次起跳机器人的水平速度大小为 $\nu _ { 0 }$ ，B木板的速度大小为 $\nu _ { _ B }$ ，机器人每次跳跃的时间为 $\Delta t$ ，取向右为正方向，得
$$
\left(M + m\right) v _ {\text {共}} = M v _ {0} - m v _ {B} ①
$$
每次跳跃时机器人和B木板的相对位移为 $\frac { L _ { _ B } } { 3 }$ ，可得
$$
\frac {L _ {B}}{3} = \left(v _ {0} + v _ {B}\right) \Delta t ②
$$
机器人到 B 木板右端时，B 木板恰好追上 A 木板，从机器人跳到 B 左端到跳到 B 右端的过程中，AB 木板
的位移差为
可得
$$
\Delta x = x _ {1} + x _ {A} = 6 \mathrm{m}
$$
联立①②③解得
解得
$$
\left(v _ {B} - v _ {A}\right) \cdot 3 \Delta t = \Delta x ③
$$
故 A、C 两木板间距为
$$
\Delta t = \frac {L _ {B}}{4 \left(v _ {A} + v _ {\text {共}}\right)} - \frac {\Delta x}{3 \left(v _ {A} + v _ {\text {共}}\right)}
$$
$$
x _ {A C} = \left(v _ {A} + v _ {C}\right) \cdot 3 \Delta t + \Delta x + L _ {B}
$$
$$
\nu_ {C} = \nu_ {\text {共}}
$$
$$
x _ {A C} = \frac {7}{4} L _ {B}
$$
