已知a，b，c都是正数，且 a ^ 3 2 + b ^ 3…——2022 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可

【小问 1 详解】

证明：因为 $a > 0 \ , b > 0 \ , c > 0$ ，则 $a ^ { \frac { 3 } { 2 } } > 0 ^ { } ~ b ^ { \frac { 3 } { 2 } } > 0 ^ { } ~ c ^ { \frac { 3 } { 2 } } > 0 ^ { }$

所以 ${ \frac { a ^ { \frac { 3 } { 2 } } + b ^ { \frac { 3 } { 2 } } + c ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 3 } } \geq \sqrt [ 3 ] { a ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cdot b ^ { \frac { 3 } { 2 } } \cdot c ^ { \frac { 3 } { 2 } } }$

即 $( a b c ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq { \frac { 1 } { 3 } }$ ，所以 $a b c \leq \frac { 1 } { 9 }$ ，当且仅当 $a ^ { \frac { 3 } { 2 } } = b ^ { \frac { 3 } { 2 } } = c ^ { \frac { 3 } { 2 } }$ ，即 $a = b = c = { \sqrt [ 3 ] { \frac { 1 } { 9 } } }$ 时取等号．

【小问2详解】

证明：因为 $a > 0 \ , b > 0 \ , c > 0$

所以 $b + c \geq 2 { \sqrt { b c } } , a + c \geq 2 { \sqrt { a c } } , a + b \geq 2 { \sqrt { a b } }$

$$ \frac {a}{b + c} \leq \frac {a}{2 \sqrt {b c}} = \frac {a ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}}, \frac {b}{a + c} \leq \frac {b}{2 \sqrt {a c}} = \frac {b ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}}, \frac {c}{a + b} \leq \frac {c}{2 \sqrt {a b}} = \frac {c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} $$

$$ \frac {a}{b + c} + \frac {b}{a + c} + \frac {c}{a + b} \leq \frac {a ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} + \frac {b ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} + \frac {c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} = \frac {a ^ {\frac {3}{2}} + b ^ {\frac {3}{2}} + c ^ {\frac {3}{2}}}{2 \sqrt {a b c}} = \frac {1}{2 \sqrt {a b c}} $$

当且仅当 $a = b = c$ 时取等号