2025_天津卷 (2025)
9．双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以右焦点 $F_{2}$ 为焦点的抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$ 与双曲线交于另一象限点为 $P$ ，若 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=3\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则双曲线的离心率 $e=$
A
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 $\left\{\begin{array}{l}\left|P F_{1}\right|=3 c+a \\ \left|P F_{2}\right|=3 c-a=|P A|\end{array}\right.$ ，根据勾股定理从而确定 $P$ 的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可。
【详解】根据题意可设 $F_{2}\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，双曲线的半焦距为 $c, P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则 $p=2 c$ ，
过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $A$ ，显然直线 $A F_{1}$ 为抛物线的准线，
则 $|P A|=\left|P F_{2}\right|$ ，
由双曲线的定义及已知条件可知 $\left\{\begin{array}{l}\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a \\ \left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=6 c\end{array}\right.$ ，则 $\left\{\begin{array}{l}\left|P F_{1}\right|=3 c+a \\ \left|P F_{2}\right|=3 c-a=|P A|\end{array}\right.$ ，
由勾股定理可知 $\left|A F_{1}\right|^{2}=y_{0}^{2}=\left|P F_{1}\right|^{2}-|P A|^{2}=12 a c$ ，
易知 $y_{0}^{2}=4 c x_{0}, \therefore x_{0}=3 a$ ，即 $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=\frac{9 a^{2}}{a^{2}}-\frac{12 a c}{c^{2}-a^{2}}=1$ ，
整理得 $2 c^{2}-3 a c-2 a^{2}=0=(2 c+a)(c-2 a), \therefore c=2 a$ ，即离心率为 2 。
故选：
第II卷（非选择题）
注意事项：