2022_浙江卷
16. 已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $\frac { b } { 4 a }$ 的直线交双曲线于点 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right)$ 交双曲线的渐近线于点 $B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ 且 $x _ { 1 } < 0 < x _ { 2 }$ ．若 $\mid F B \mid = 3 \mid F A \mid$ ，则双曲线的离心率是【答案】 $\frac { 3 { \sqrt { 6 } } } { 4 }$
$\frac { 3 { \sqrt { 6 } } } { 4 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解析】
【分析】联立直线AB 和渐近线 $l _ { 2 } : y = { \frac { b } { a } } .$ x方程，可求出点B，再根据| $F B | = 3 | F A |$ |可求得点A，最后
根据点A在双曲线上，即可解出离心率
【详解】过F 且斜率为 $\frac { b } { 4 a }$ 的直线 $A B : y = { \frac { b } { 4 a } } ( x + c )$ ，渐近线 $l _ { 2 } : y = { \frac { b } { a } } x$
联立 $\left\{ \begin{array} { c } { \displaystyle { y = \frac { b } { 4 a } ( x + c ) } } \\ { \displaystyle { y = \frac { b } { a } x } } \end{array} \right.$ ，得 $B { \Bigg ( } { \frac { c } { 3 } } , { \frac { b c } { 3 a } } { \Bigg ) }$ ，由 $\mid F B \mid = 3 \mid F A \mid$ ，得 $A { \Bigg ( } - { \frac { 5 c } { 9 } } , { \frac { b c } { 9 a } } { \Bigg ) }$ •而点A在双曲线上，于是 $\frac { 2 5 c ^ { 2 } } { 8 1 a ^ { 2 } } - \frac { b ^ { 2 } c ^ { 2 } } { 8 1 a ^ { 2 } b ^ { 2 } } = 1$ ，解得： ${ \frac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 8 1 } { 2 4 } }$ ，所以离心率 $\mathbf { e } = { \frac { 3 { \sqrt { 6 } } } { 4 } }$ 故答案为： $\frac { 3 { \sqrt { 6 } } } { 4 }$
