已知矩阵 A = [ array l l 0 & 1 1…——2017 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（2017•江苏）已知矩阵 $\mathsf { A } { = } \left[ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } } & { \boldsymbol { 1 } } \\ { \boldsymbol { 1 } } & { \boldsymbol { 0 } } \end{array} \right]$ $\mathsf { B } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right]$

（1）求 AB；

（2）若曲线 $\mathsf C _ { 1 } \colon \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { \partial \mathtt { x } ^ { 2 } } { \partial \mathtt { x } } + } \frac { \mathtt { y } ^ { 2 } } { 2 } \overset { = 1 } { = }$ 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 ${ \sf C } _ { 2 }$ ，求${ \sf C } _ { 2 }$ 的方程

【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；

（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的方程化简即可

【解答】解：（1） $\mathsf { A B } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right)$

> ②设点P（x，y）为曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的任意一点，

点P在矩阵AB的变换下得到点 $\mathsf { P } ^ { \prime } ( \mathsf { x } _ { 0 } , \mathsf { y } _ { 0 } )$

则 $\left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 2 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } } \\ { \mathbf { y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 2 \mathbf { y } } \\ { \mathbf { x } } \end{array} \right)$ ，即 $\mathtt { x } _ { 0 } = 2 \mathtt { y } , \mathtt { y } _ { 0 } = \mathtt { x }$

$$ \therefore x = y _ { 0 } , y = \frac { x _ { 0 } } { 2 } , $$

$\therefore \frac { { y _ { 0 } } ^ { 2 } } { 8 } + \frac { { { \bf { x } _ { 0 } } ^ { 2 } } } { 8 } = 1$ ，即 $x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = 8$

$\therefore$ 曲线 $\mathsf C _ { 2 }$ 的方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 8$

【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题