（12分）设函数 f(x)=sin (ω x- π 6 )…——2017 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12分）（2017•山东）设函数 $f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)$ ，其中 $0<\omega<3$ ，已知 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$ ．
（I）求 $\omega$ ；
（II）将函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $[$

$\left.-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最小值．
【解答】解：（I ）函数 $f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{2}\right)$
$=\sin \omega x \cos \frac{\pi}{6}-\cos \omega x \sin \frac{\pi}{6}-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\omega x\right)$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega \mathrm{x}-\frac{3}{2} \cos \omega \mathrm{x}$
$=\sqrt{3} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，
又 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \sin \left(\frac{\pi}{6} \omega-\frac{\pi}{3}\right)=0$ ，
$\therefore \frac{\pi}{6} \omega-\frac{\pi}{3}=k \pi, \quad k \in Z$,
解得 $\omega=6 k+2$ ，
又 $0<\omega<3$ ，
$\therefore \omega=2$ ；
（II）由（I）知，$f(x)=\sqrt{3} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ ，
将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 $\mathrm{y}=\sqrt{3} \sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象；
再将得到的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位，得到 $\mathrm{y}=\sqrt{3} \sin \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象，
∴ 函数 $y=g(x)=\sqrt{3} \sin \left(x-\frac{\pi}{12}\right)$ ；
当 $x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 时，$x-\frac{\pi}{12} \in\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ ，
$\therefore \sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{12}\right) \in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right]$ ，
∴ 当 $x=-\frac{\pi}{4}$ 时，$g(x)$ 取得最小值是 $-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}=-\frac{3}{2}$ ．