（5分）（2010•北京）若 a , b 是非零向量，＂…——2010 高考数学第 6 题答案解析

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】简易逻辑。
【分析】先判别必要性是否成立，根据一次函数的定义，得到 $\overrightarrow{\mathrm{ab}}=0$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 成立，再判断充分性是否成立，由 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，不能推出函数为一次函数，因为 $\overrightarrow{|\mathrm{a}|}=\overrightarrow{|\mathrm{b}|}$ 时，函数是常数 ，而不是一次函数．
【解答】解：
$f(x)=(x \vec{a}+\vec{b}) \cdot(x \vec{b}-\vec{a})=\vec{a} \cdot \vec{b} x^{2}+\left(|\vec{b}|^{2}-\overrightarrow{|a|^{2}}\right) x-\vec{a} \cdot \vec{b}$,如 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}}$ ，则有 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=0$ ，

如果同时有 $\overrightarrow{|\mathrm{a}|}=\overrightarrow{|\mathrm{b}|}$ ，则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 恒为 0 ，不是一次函数，因此不充分，
而如果 $f(x)$ 为一次函数，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ ，因此可得 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，故该条件必要．
故答案为B．
【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查平面向量的数量积的相关运算。