已知函数 f(x)=x^ 2 +a x+b(a, b R…——2012 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（5分）（2012 • 江苏）已知函数 $f(x)=x^{2}+a x+b(a, b \in R)$ 的值域为 $[0,+\infty)$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<c$ 的解集为 $(m, m+6)$ ，则实数 $c$ 的值为 $\_\_\_\_$ 9。

考点 一元二次不等式的应用。
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专题 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
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分析 根据函数的值域求出 a 与 b 的关系，然后根据不等式的解集可得 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{c}$ 的两个根为 m ：， $\mathrm{m}+6$ ，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可。
解答 解：∵ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+\mathrm{ax}+\mathrm{b}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R})$ 的值域为 $[0,+\infty)$ ，
：$\therefore f(x)=x^{2}+a x+b=0$ 只有一个根，即 $\triangle=a^{2}-4 b=0$ 则 $b=\frac{a^{2}}{4}$
不等式 $f(x)<c$ 的解集为 $(m, m+6)$ ，
即为 $x^{2}+a x+\frac{a^{2}}{4}<c$ 解集为 $(m, m+6)$ ，
则 $x^{2}+a x+\frac{a^{2}}{4}-c=0$ 的两个根为 $m, m+6$

$$ \therefore|m+6-m|=\sqrt{a^{2}-4\left(\frac{a^{2}}{4}-c\right)}=6 $$

解得 $c=9$
故答案为： 9
点评 本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求 ：解的能力和计算能力，属于中档题。