（12分）（2013•广东）已知函数 ( x ) = 2…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（12分）（2013•广东）已知函数 $( \mathbf { x } ) = \sqrt { 2 } \mathsf { c o s } ( \mathbf { x } - \frac { \pi } { 1 2 } )$ ，x∈R

（1）求 $( - \frac { \pi } { 6 } )$ 的值；

（2）若 $\cos \theta = \frac { 3 } { 5 } , \theta \in ( \frac { 3 \pi } { 2 } , 2 \pi )$ ，求 $( 2 \theta + \frac { \pi } { 3 } )$

考点： 二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数

专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质

分析： （1）把 $\operatorname { J } _ { \mathrm { X } } = - { \frac { \pi } { 6 } }$ 直接代入函数解析式求解

（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将 $\scriptstyle \cdot = 2 \theta + { \frac { \pi } { 3 } }$ 代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果

解答：

解：（1） $\textnormal { f } \big ( - \frac { \pi } { 6 } \big ) = \sqrt { 2 } \cos ( - \frac { \pi } { 6 } - \frac { \pi } { 1 2 } ) = \sqrt { 2 } \cos ( - \frac { \pi } { 4 } ) = \sqrt { 2 } \times \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } = 1$

（2）因为 $\cos \theta = \frac { 3 } { 5 } , \theta \in ( \frac { 3 \pi } { 2 } , 2 \pi )$

所以 $\sin \theta = - \sqrt { 1 - \cos ^ { 2 } \theta } = - \frac { 4 } { 5 }$

所以 $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times ( - \frac { 4 } { 5 } ) \times \frac { 3 } { 5 } = - \frac { 2 4 } { 2 5 }$

$$ \cos 2 \theta = \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta = ( \frac { 3 } { 5 } ) ^ { 2 } - ( - \frac { 4 } { 5 } ) ^ { 2 } = - \frac { 7 } { 2 5 } $$

$$ ( 2 \theta + \frac { \pi } { 3 } ) = \sqrt { 2 } { \cos \theta } ( 2 \theta + \frac { \pi } { 3 } - \frac { \pi } { 1 2 } ) = \sqrt { 2 } { \cos \theta } ( 2 \theta + \frac { \pi } { 4 } ) = { \cos 2 \theta } - { \sin 2 \theta } = \frac { \pi } { 2 } { \cos \theta } . $$

$$ - \frac { 7 } { 2 5 } - ( - \frac { 2 4 } { 2 5 } ) = \frac { 1 7 } { 2 5 } $$

点评： 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围