【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5S：坐标系和参数方程
【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到 $\mathsf C _ { 1 }$ 的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得 $\mathsf { \Lambda } . \mathsf { C } _ { 2 }$ 的直角坐标方程；
> ②由题意可得当直线 $x + y - 4 = 0$ 的平行线与椭圆相切时， $| \mathsf { P Q } |$ 取得最值．设与直线 $x + y - 4 = 0$ 平行的直线方程为 $\vert x + y + t = 0$ ，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得 $| \mathsf { P Q } |$ 的最小值，解方程可得P的直角坐标．
另外：设P $( \sqrt { 3 } \cos \alpha , \ \sin \alpha )$ ，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标
【解答】解：（1）曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \sqrt { 3 } \cos \alpha } \\ { y = \sin \alpha } \end{array} \right.$ （α为参数），移项后两边平方可得 $\frac { x ^ { 2 } } { 3 } + y ^ { 2 } = \cos ^ { 2 } \alpha + \sin ^ { 2 } \alpha = 1$
即有椭圆 $\mathsf C _ { 1 } \colon \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { \partial x } { \partial 3 } ^ { 2 } } \ d y ^ { 2 } = 1$ ；
曲线 ${ \sf C } _ { 2 }$ 的极坐标方程为 $\arcsin ( \theta + { \frac { \pi } { 4 } } ) = 2 { \sqrt { 2 } } .$
即有 $\overset { \cdot } { \underset { \ r { 2 } } { \ r { } } } ( \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \sin \theta + \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \mathrm { c o s } \theta ) \ = 2 \sqrt { 2 }$
由x=ρcosθ， $\scriptstyle \forall = \rho \leq \mathrm { i n } \theta$ ，可得x $+ y - 4 = 0$
即有 $\mathsf { C } _ { 2 }$ 的直角坐标方程为直线 $x + y - 4 = 0$
> ②由题意可得当直线 $x + y - 4 = 0$ 的平行线与椭圆相切时，
|PQ|取得最值
设与直线 $x + y - 4 = 0$ 平行的直线方程为 $\vert x + y + t = 0$
联立 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } + \mathbf { t } = 0 } \\ { \mathbf { x } ^ { 2 } + 3 \mathbf { y } ^ { 2 } = 3 } \end{array} \right. }$ 可得 $4 x ^ { 2 } + 6 t x + 3 t ^ { 2 } - 3 = 0$
由直线与椭圆相切，可得 $\triangle = 3 6 t ^ { 2 } - 1 6 ( 3 t ^ { 2 } - 3 ) = 0$
解得t=±2，
显然t=﹣2时， $| \mathsf { P Q } |$ 取得最小值，
即有 $\vert \mathsf { P Q } \vert = \frac { \vert - 4 - \left( - 2 \right) \vert } { \sqrt { 1 + 1 } } = \sqrt { 2 } ,$
此时 $4 { \times } ^ { 2 } - 1 2 { \times } ^ { + } 9 { = } 0$ ，解得 $\mathbf { \cdot } \mathbf { \lambda } \mathbf { \cdot } \mathbf { \lambda } \mathbf { \cdot } \mathbf { x } \mathbf { = } { \frac { 3 } { 2 } } ,$
即为 $\textsf { P } ( \frac { 3 } { 2 } , \ \frac { 1 } { 2 } )$
另解：设 $\textsf { P } \left( \sqrt { 3 } \cos \alpha , \ \sin \alpha \right)$
由P到直线的距离为 $\vert \mathbf { d } = \frac { \vert \sqrt { 3 } \cos \alpha + \sin \alpha - 4 \vert } { \sqrt { 2 } }$
$$
= \frac { \vert 2 \sin ( a + \frac { \pi } { 3 } ) - 4 \vert } { \sqrt { 2 } } ,
$$
当 $\sin ( a + \frac { \pi } { 3 } ) = 1$ 时，|PQ|的最小值为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ ，
此时可取 $\alpha { = } \frac { \pi } { 6 }$ ，即有 $\textsf { P } ( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } )$
【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题