l_ 1 : x-y+6=0 与 x 轴交于点 A，与 y…——2025 高考数学第 10 题答案解析

【解答】
$l_{1}: x-y+6=0$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 交于 C、D 两点，

$|A B|=3|C D|$ ，则 $r=$ $\_\_\_\_$。

【答案】2
【解析】
【分析】先根据两点间距离公式得出 $|A B|=6 \sqrt{2}$ ，再计算出圆心到直线的距离 $d$ ，根据弦长公式$|C D|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}$ 列等式求解即可．

【详解】因为直线 $l_{1}: x-y+6=0$ 与 $x$ 轴交于 $A(-6,0)$ ，与 $y$ 轴交于 $B(0,6)$ ，所以 $|A B|=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6 \sqrt{2}$ ，所以 $|C D|=2 \sqrt{2}$ ，

圆 $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=r^{2}$ 的半径为 $r$ ，圆心 $(-1,3)$ 到直线 $l_{1}: x-y+6=0$ 的距离为 $d=\frac{|-1-3+6|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ，故 $|C D|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{r^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{2}$ ，解得 $r=2$ ；

故答案为：2。