已知函数 f(x)=|x+1|-|2 x-3| ． （I）…——2016 高考数学第 24 题答案解析

【考点】\＆2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．
【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）运用分段函数的形式写出 $f(x)$ 的解析式，由分段函数的画法 ，即可得到所求图象；
（II）分别讨论当 $x \leq-1$ 时，当 $-1<x<\frac{3}{2}$ 时，当 $x \geq \frac{3}{2}$ 时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．
【解答】解：（I ）$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x-4, & x \leqslant-1 \\ 3 x-2, & -1<x<\frac{3}{2}, \\ 4-x, & x \geqslant \frac{3}{2}\end{array}\right.$ ，
由分段函数的图象画法，可得 $f(x)$ 的图象，如右：
（II）由 $|f(x)|>1$ ，可得
当 $x \leq-1$ 时，$|x-4|>1$ ，解得 $x>5$ 或 $x<3$ ，即有 $x \leq-1$ ；
当 $-1<x<\frac{3}{2}$ 时，$|3 x-2|>1$ ，解得 $x>1$ 或 $x<\frac{1}{3}$ ，
即有 $-1<x<\frac{1}{3}$ 或 $1<x<\frac{3}{2}$ ；
当 $x \geq \frac{3}{2}$ 时，$|4-x|>1$ ，解得 $x>5$ 或 $x<3$ ，即有 $x>5$ 或 $\frac{3}{2} \leq x<3$ ．
综上可得，$x<\frac{1}{3}$ 或 $1<x<3$ 或 $x>5$ ．

则 $|f(x)|>1$ 的解集为 $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup(1,3) \cup(5,+\infty)$ ．

【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．