已知函数 f(x)=|x+1|-|2 x-3| ． （I）…——2016 高考数学第 24 题答案解析

（I）由 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$，令绝对值内部为零，得分段点 $x=-1$ 和 $x=\frac{3}{2}$。
当 $x \leqslant -1$ 时，$f(x)=-(x+1)-[-(2x-3)]=-x-1+2x-3=x-4$；
当 $-1 < x < \frac{3}{2}$ 时，$f(x)=(x+1)-[-(2x-3)]=x+1+2x-3=3x-2$；
当 $x \geqslant \frac{3}{2}$ 时，$f(x)=(x+1)-(2x-3)=x+1-2x+3=4-x$。
故 $f(x)=\begin{cases} x-4, & x \leqslant -1 \\ 3x-2, & -1 < x < \frac{3}{2} \\ 4-x, & x \geqslant \frac{3}{2} \end{cases}$。

关键点坐标计算：
$x=-1$ 时，$y=-5$，即点 $A(-1, -5)$；
$x=\frac{3}{2}$ 时，$y=\frac{5}{2}=2.5$，即点 $B(\frac{3}{2}, 2.5)$；
$x=0$ 时，$y=-2$，即点 $(0, -2)$；
$x=4$ 时，$y=0$，即点 $(4, 0)$。
在坐标系中描出上述关键点，并用线段连接，即可得到 $y=f(x)$ 的图象（图象为折线，先上升后下降再下降，但在 $x \le -1$ 段斜率为1，$-1 < x < 1.5$ 段斜率为3，$x \ge 1.5$ 段斜率为-1）。

（II）不等式 $|f(x)|>1$ 等价于 $f(x)>1$ 或 $f(x)<-1$。分段讨论如下：

1. 当 $x \leqslant -1$ 时，$f(x)=x-4$。
由 $|x-4|>1$ 得 $x-4>1$ 或 $x-4<-1$，解得 $x>5$ 或 $x<3$。
结合前提 $x \leqslant -1$，取交集得：$x \leqslant -1$。

2. 当 $-1 < x < \frac{3}{2}$ 时，$f(x)=3x-2$。
由 $|3x-2|>1$ 得 $3x-2>1$ 或 $3x-2<-1$。
解 $3x-2>1 \Rightarrow 3x>3 \Rightarrow x>1$；
解 $3x-2<-1 \Rightarrow 3x<1 \Rightarrow x<\frac{1}{3}$。
结合前提 $-1 < x < \frac{3}{2}$，取交集得：$-1 < x < \frac{1}{3}$ 或 $1 < x < \frac{3}{2}$。

3. 当 $x \geqslant \frac{3}{2}$ 时，$f(x)=4-x$。
由 $|4-x|>1$ 得 $4-x>1$ 或 $4-x<-1$。
解 $4-x>1 \Rightarrow x<3$；
解 $4-x<-1 \Rightarrow x>5$。
结合前提 $x \geqslant \frac{3}{2}$，取交集得：$\frac{3}{2} \leqslant x < 3$ 或 $x > 5$。

综上所述，将上述各段的解集求并集：
$(x \leqslant -1) \cup (-1 < x < \frac{1}{3}) \cup (1 < x < \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2} \leqslant x < 3) \cup (x > 5)$
合并连续区间可得：
$x < \frac{1}{3}$ 或 $1 < x < 3$ 或 $x > 5$。

故不等式的解集为 $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup(1,3) \cup(5,+\infty)$。