（12分） A B C 在内角A、B、C的对边分别为a，b…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【专题】58：解三角形

【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式

求出ac的最大值，即可得到面积的最大值

【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得： $\sin A = \sin B \cos C + \sin B \sin C \textcircled { 1 }$

$$ \because \sin A = \sin ( B + C ) = \sin B \cos C + \cos B \sin C \textcircled { 2 } , $$

$\therefore \sin B = \cos B$ ，即 $\scriptstyle 1 \tan B = 1$

$\because B$ 为三角形的内角，

$$ \therefore B = \frac { \pi } { 4 } ; $$

（Ⅱ） $S _ { \Delta A B C } = \frac { 1 } { 2 } a c s i n B = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } a c$

由已知及余弦定理得： $4 { = } \mathsf { a } ^ { 2 } { + } \mathsf { c } ^ { 2 } \cdot 2 { \mathsf { a c c o s } } \frac { \pi } { 4 } { \geq } 2 { \mathsf { a c } } - 2 { \mathsf { a c } } { \times } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ;$

整理得： $\mathsf { a c { \le } } \frac { 4 } { 2 \mathsf { - } \sqrt { 2 } } ;$ ，当且仅当a=c时，等号成立，

则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\frac { 1 } { 2 } { \times } \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } { \times } \frac { 4 } { 2 - \sqrt { 2 } } { \frac { } { 2 } } { \times } \sqrt { 2 } { \times } ( 2 { + } \sqrt { 2 } ) = \sqrt { 2 } { + } 1$

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键