2022_全国乙卷
18. 如图，四面体 ABCD 中， $AD \perp CD, AD = CD, \angle ADB = \angle BDC$ ，E 为 AC 的中点.
（1）证明：平面 $BED \perp$ 平面 ACD；
（2）设 $AB = BD = 2, \angle ACB = 60^{\circ}$ ，点 $F$ 在 $BD$ 上，当 $\triangle AFC$ 的面积最小时，求 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值.
(1) 证明过程见解析 >; (2) $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明过程见解析
> ② $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{7}$
【解析】
【分析】（1）根据已知关系证明 $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ ，得到 AB = CB，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到 $BE \perp DE$ ，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
【小问 1 详解】
因为 AD = CD，E 为 AC 的中点，所以 $AC \perp DE$ ；
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 中，因为 $AD=CD,\angle ADB=\angle CDB,DB=DB$ ，
所以 $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ ，所以 AB = CB，又因为 E 为 AC 的中点，所以 $AC \perp BE$ ；
又因为 $DE, BE \subset$ 平面 BED， $DE \cap BE = E$ ，所以 $AC \perp$ 平面 BED，
因为 $AC \subset$ 平面 ACD，所以平面 $BED \perp$ 平面 ACD.
【小问 2 详解】
连接 EF，由（1）知， $AC \perp$ 平面 BED，因为 $EF \subset$ 平面 BED，
所以 $AC \perp EF$ ，所以 $S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} AC \cdot EF$ ，
当 $EF \perp BD$ 时， $EF$ 最小，即 $\triangle AFC$ 的面积最小.
因为 $\triangle ABD \cong \triangle CBD$ ，所以 $CB = AB = 2$ ，
又因为 $\angle ACB = 60^{\circ}$ ，所以 $\triangle ABC$ 是等边三角形，
因为 E 为 AC 的中点，所以 AE = EC = 1， $BE = \sqrt{3}$ ，
因为 $AD \perp CD$ ，所以 $DE = \frac{1}{2} AC = 1$ ，
在 $\triangle DEB$ 中， $DE^{2} + BE^{2} = BD^{2}$ ，所以 $BE\perp DE$
以 E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz，
则 $A(1,0,0), B(0, \sqrt{3}, 0), D(0,0,1)$ ，所以 $\overrightarrow{AD} = (-1,0,1), \overrightarrow{AB} = (-1, \sqrt{3}, 0)$ ，
设平面 ABD 的一个法向量为 $\vec{n} = (x, y, z)$ ,
则 $\left\{ \begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AD} = -x + z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = -x + \sqrt{3} y = 0 \end{array} \right.$ ，取 $y = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{n} = (3, \sqrt{3}, 3)$ ，
又因为 $C(-1,0,0), F\left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$ ，所以 $\overrightarrow{CF} = \left(1, \frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}\right)$ ，
所以 $\cos\vec{n},\overrightarrow{CF}=\frac{\vec{n}\cdot\overrightarrow{CF}}{\left|\vec{n}\right|\left|\overrightarrow{CF}\right|}=\frac{6}{\sqrt{21}\times\sqrt{\frac{7}{4}}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$ ,
设 CF 与平面 ABD 所成的角为 $\theta\left(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right)$ ,
所以 $\sin\theta=\left|\cos\vec{n},\overrightarrow{CF}\right|=\frac{4\sqrt{3}}{7}$ ,
所以 $CF$ 与平面 $ABD$ 所成的角的正弦值为 $\frac{4\sqrt{3}}{7}$ .
