2013_daganji_old
6．（5分）函数f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Sigma } = \mathbf { l 0 g _ { 2 } } ( \mathbf { 1 + \frac { 1 } { x } } ) ( \mathbf { x } > 0 )$ 的反函数f﹣<sup>1</sup>（x）=（ ）A $\frac { 1 } { 2 ^ { ^ { \mathbf { x } } } - 1 } ( \mathbf { x } > 0 )$ B $\frac { 1 } { 2 ^ { \mathbf { x } } - 1 } ( \mathbf { x } \neq 0 )$ C $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( { \mathsf { x } } \in { \mathsf { R } } )$ D $2 ^ { \mathsf { x } } - 1 ( \mathsf { x } { > } 0 )$
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】4R：反函数
【专题】51：函数的性质及应用
【分析】把y看作常数，求出x： $x = \frac { 1 } { 2 ^ { y } + 1 }$ ，x，y互换，得到 $\forall \dag = \vert 0 \mathbf g _ { 2 } \ ( 1 + \frac { 1 } { \mathbf g } )$ 的反函数．注意反函数的定义域
【解答】解：设 $\forall \ d = \dag 0 \ d \mathbf { g } _ { 2 } ( 1 \dag \frac { 1 } { \mathbf { x } } )$
把y看作常数，求出x：
$1 + \frac { 1 } { x } = 2 y , x = \frac { 1 } { 2 ^ { y } - 1 }$ ，其中 $\mathfrak { I } _ { \mathsf { Y } } { > } 0$
x，y互换，得到 $\forall \ d = \dag 0 \ d \mathbf { g } _ { 2 } ( 1 \dag \frac { 1 } { \mathbf { x } } )$ 的反函数： $y = \frac { 1 } { 2 ^ { x } - 1 } ( x > 0 )$
故选：A
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化