（23）（本小题满分 10 分）选修 $4-4$ ：坐标系与参数方程已知直线 $\mathrm{C}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t} \cos \alpha \\ y=t \sin \alpha\end{array}\right.$（t为参数）， $\mathrm{C}_{2}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），
（I）当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ 时，求 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的交点坐标；
（II）过坐标原点 0 做 $\mathrm{C}_{1}$ 的垂线，垂足为 $\mathrm{A}, \mathrm{P}$ 为 0 A 中点，当 $\alpha$ 变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数…——2010 高考数学第 22 题答案解析
2010_老新课标卷 (2010·文)
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【解答】
解：
（I）当 $\alpha=\frac{\pi}{3}$ 时，$C_{1}$ 的普通方程为 $y=\sqrt{3}(x-1), C_{2}$ 的普通方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ ．
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}(x-1), \\ x=x^{2}+y^{2}=1,\end{array}\right.$ 解得 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的交点为 $(1,0),\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
（II）$C_{1}$ 的普通方程为 $x \sin \alpha-y \cos \alpha-\sin \alpha=0$ ．
A点坐标为 $\left(\sin ^{2} a,-\cos a \sin a\right)$ ，故当 $a$ 变化时， P 点轨迹的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \sin ^{2} a \\ y=-\frac{1}{2} \sin a \cos a\end{array} \quad(a\right.$ 为参数 $)$
P 点轨迹的普通方程为 $\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{16}$
故 P 点轨迹是圆心为 $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$ ，半径为 $\frac{1}{4}$ 的圆
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