（本题满分 12 分） 已知函数 f(x)=10 3 si…——2015 高考数学第 21 题答案解析

【答案】（ I ） $2 \pi ;($ II ）（ i ）$g(x)=10 \sin x-8 ;($ ii ）详见解析．
【解析】（I）因为 $f(x)=10 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+10 \cos ^{2} \frac{x}{2}$

$$ \begin{aligned} & =5 \sqrt{3} \sin x+5 \cos x+5 \\ & =10 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+5 \end{aligned} $$

所以函数 $f(x)$ 的最小正周期 $\mathrm{T}=2 \pi$ ．
（II）（i）将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后得到 $y=10 \sin x+5$ 的图象，再向下平移 $a(a>0)$个单位长度后得到 $g(x)=10 \sin x+5-a$ 的图象．

又已知函数 $g(x)$ 的㖩大值为 2 ，所以 $10+5-a=2$ ，解得 $a=13$ ．
所以 $g(x)=10 \sin x-8$ ．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $g\left(x_{0}\right)>0$ ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $10 \sin x_{0}-8>0$ ，即 $\sin x_{0}>\frac{4}{5}$ ．

由 $\frac{4}{5}<\frac{\sqrt{3}}{2}$ 知，存在 $0<\alpha_{0}<\frac{\pi}{3}$ ，使得 $\sin \alpha_{0}=\frac{4}{5}$ ．
由正弦函数的性质可知，当 $x \in\left(\alpha_{0}, \pi-\alpha_{0}\right)$ 时，均有 $\sin x>\frac{4}{5}$ ．
因为 $y=\sin x$ 的周期为 $2 \pi$ ，
所以当 $x \in\left(2 k \pi+\alpha_{0}, 2 k \pi+\pi-\alpha_{0}\right) \quad(k \in \mathrm{Z})$ 时，均有 $\sin x>\frac{4}{5}$ ．
因为对任意的整数 $k,\left(2 k \pi+\pi-\alpha_{0}\right)-\left(2 k \pi+\alpha_{0}\right)=\pi-2 \alpha_{0}>\frac{\pi}{3}>1$ ，
所以对任意的正整数 $k$ ，都存在正整数 $x_{k} \in\left(2 k \pi+\alpha_{0}, 2 k \pi+\pi-\alpha_{0}\right)$ ，使得 $\sin x_{k}>\frac{4}{5}$ ．
亦即存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $g\left(x_{0}\right)>0$ ．
【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．

【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为 $f(x)=A \sin (\omega x+\phi)$ 进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于 $f(x)$ 而言，即 $f(x) \rightarrow A f(x)$ 和 $f(x) \rightarrow f(x)+k$ ，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量 $x$ 而言，即 $f(x) \rightarrow f(\omega x)$ 和 $f(x) \rightarrow f(x+a)$ ；本题第（ii）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $g\left(x_{0}\right)>0$ ，转化为解集长度大于 1 ，是本题的核心．