21．（本题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=10 \sqrt{3} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+10 \cos ^{2} \frac{x}{2}$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
（II）将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，再向下平移 $a(a>0)$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$的图象，且函数 $g(x)$ 的最大值为 2 ．
（i）求函数 $g(x)$ 的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 $x_{0}$ ，使得 $g\left(x_{0}\right)>0$ ．
参考答案（ I ） $2 \pi ;($ II ）（ i ）$g(x)=10 \sin x-8 ;($ ii ）详见解析．