2015_退役省自主命题 (2015·理)
23．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x \mathrm{O} y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2} t \\ y=\frac{\sqrt{3}}{2} t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）．以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，$\odot \mathrm{C}$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ．
（I）写出 $\odot \mathrm{C}$ 的直角坐标方程；
（II） P 为直线 $l$ 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．
【答案】（I）$x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=3 ;($ II $)(3,0)$ ．
## 【解析】
试题分析：（I）先将 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ 两边同乘以 $\rho$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{3} \rho \sin \theta$ ，再利用 $\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, x=\rho \sin \theta$可得 $\odot \mathrm{C}$ 的直角坐标方程；（II）先设 P 的坐标，则 $|\mathrm{PC}|=\sqrt{t^{2}+12}$ ，再利用二次函数的性质可得 $|\mathrm{PC}|$ 的最小值，进而可得 P 的直角坐标．
试题解析：（I）由 $\rho=2 \sqrt{3} \sin \theta$ ，得 $\rho^{2}=2 \sqrt{3} \rho \sin \theta$ ，
从而有 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{3} y$ ，所以 $x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=3$ ．
（II）设 $P\left(3+\frac{1}{2} \mathrm{t}, \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{t}\right)$ ，又 $\mathrm{C}(0, \sqrt{3})$ ，则 $|\mathrm{PC}|=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2} t\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} t-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{t^{2}+12}$ ，
故当 $t=0$ 时，$|\mathrm{PC}|$ 取最小值，此时 P 点的直角坐标为 $(3,0)$ ．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质．
【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数的几何意义和二次函数的性质，属于容易题。解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化。