（5分）在 A B C 中， B=60^ , A C= 3…——2011 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HR：余弦定理．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设 $A B=C$
$\mathrm{AC}=\mathrm{b}$
$B C=a$ 利用余弦定理和已知条件求得 $a$ 和 $c$ 的关系，设 $c+2 a=m$ 代入，利用判别大于等于 0 求得 $m$ 的范围，则 $m$ 的最大值可得．

【解答】解：设 $A B=c \quad A C=b \quad B C=a$
由余弦定理
$\cos \mathrm{B}=\frac{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}}{2 \mathrm{ac}}$
所以 $a^{2}+c^{2}-a c=b^{2}=3$
设 $c+2 a=m$
代入上式得
$7 a^{2}-5 a m+m^{2}-3=0$
$\triangle=84-3 m^{2} \geq 0$ 故 $m \leq 2 \sqrt{7}$
当 $m=2 \sqrt{7}$ 时，此时 $a=\frac{5 \sqrt{7}}{7}, c=\frac{4 \sqrt{7}}{7}$ 符合题意
因此最大值为 $2 \sqrt{7}$
另解：因为 $B=60^{\circ}, A+B+C=180^{\circ}$ ，所以 $A+C=120^{\circ}$ ，
由正弦定理，有
$\frac{A B}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}=\frac{A C}{\sin B}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=2$,
所以 $A B=2 \sin C, B C=2 \sin A$ ．
所以 $A B+2 B C=2 \sin C+4 \sin A=2 \sin \left(120^{\circ}-A\right)+4 \sin A$
$=2\left(\sin 120^{\circ} \cos \mathrm{A}-\cos 120^{\circ} \sin \mathrm{A}\right)+4 \sin \mathrm{~A}$
$=\sqrt{3} \cos \mathrm{~A}+5 \sin \mathrm{~A}$
$=2 \sqrt{7} \sin (A+\phi)$ ，（其中 $\sin \phi=\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}, \cos \phi=\frac{5}{2 \sqrt{7}}$ ）
所以 $A B+2 B C$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$ ．

故答案为： $2 \sqrt{7}$
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用