（5分）设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球…——2018 高考数学第 12 题答案解析

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．
【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离。

【分析】求出，$\triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后求解即可。
【解答】解：$\triangle A B C$ 为等边三角形且面积为 $9 \sqrt{3}$ ，可得 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times A B^{2}=9 \sqrt{3}$ ，解得 $A B=$ 6，

球心为 O ，三角形 ABC 的外心为 $\mathrm{O}^{\prime}$ ，显然 D 在 $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{O}$ 的延长线与球的交点如图：
$\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{C}=\frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6=2 \sqrt{3}, \quad \mathrm{OO}^{\prime}=\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2$ ，
则三棱锥D－ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D－$A B C$ 体积的最大值为：$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^{3}=18 \sqrt{3}$ ．

故选：B．

【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力。