（本小题满分 12 分） 四面体 A B C D 及其三视…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【答案】①$\frac{2}{3}$；（2）证明见解析．

## 【解析】

试题分析：（1）由该四面体的三视图可知：$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$，所以 $A D \perp$ 平面 $B D C$，故四面体体积 $V=\frac{1}{3} A D \cdot S_{\triangle B C D}$，即可求出四面体 $A B C D$ 的体积．
（2）由该四面体的三视图可知：$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$
由题设，$B C$／／面 $E F G H$，面 $E F G H$ 亿面 $B D C=F G$，面 $E F G H$ 亿面 $A B C=E H$，所以 $B C / / F G$，

$B C / / E H$，所以 $F G / / E H$，同理可得 $E F / / H G$，即得四边形 $E F G H$ 是平行四边形，同时可证 $E F \perp F G$，即证四边形 $E F G H$ 是矩形；

试题解析：
①由该四面体的三视图可知：
$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$
$\therefore A D \perp$ 平面 $B D C$
∴ 四面体体积 $V=\frac{1}{3} A D \cdot S_{\triangle B C D}=\frac{1}{3} \times 1 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2=\frac{2}{3}$
②由该四面体的三视图可知：
$B D \perp D C, B D \perp A D, A D \perp D C, B D=D C=2, A D=1$
由题设，$B C / /$ 面 $E F G H$
面 $E F G H \cap$ 面 $B D C=F G$
面 $E F G H$ ㅁ面 $A B C=E H$
$\therefore B C / / F G, B C / / E H, \quad \therefore F G / / E H$.
同理 $E F / / A D, H G / / A D, \quad \therefore E F / / H G$．
∴ 四边形 $E F G H$ 是平行四边形
又 $\because B D \perp A D, A D \perp D C, B D \cap D C=D$
$\therefore A D \perp$ 平面 $B D C$
$\therefore A D \perp B C$
$\because B C / / F G, E F / / A D$
$\therefore E F \perp F G$
∴ 四边形 $E F G H$ 是矩形
考点：四面体的体积；面面平行的性质．