（16）（本小题满分13分） 在 A B C 中，内角 A…——2013 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识。考查基本运算求解能力。满分 1 3 分。
（I）解：在 $\triangle A B C$ 中，由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ ，可得 $b \sin A=a \sin B$ ，又由 $b \sin A=3 c \sin B$ ，可得 $\mathrm{a}=3 \mathrm{c}$ ，又 $\mathrm{a}=3$ ，故 $\mathrm{c}=1$ ．

由 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B, \cos B=\frac{2}{3}$ ，可得 $b=\sqrt{6}$ ．
（II）解：由 $\cos B=\frac{2}{3}$ ，得 $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，进而得 $\cos 2 B=2 \cos ^{2} B-1=-\frac{1}{9}$ ， $\sin 2 B=2 \sin B \cos B=\frac{4 \sqrt{5}}{9}$ ．

所以 $\sin \left(2 B-\frac{\pi}{3}\right)=\sin 2 B \cos \frac{\pi}{3}-\cos 2 B \sin \frac{\pi}{3}=\frac{4 \sqrt{5}+\sqrt{3}}{18}$ ．