（5分）如图，在同一个平面内，向量 O A , O B ,…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 $\overrightarrow { O A } , \overrightarrow { O B } , \overrightarrow { O C }$ 的模分别为1，1， ${ \sqrt { 2 } } , \ { \overrightarrow { \mathsf { O A } } }$ 与 $\overrightarrow { \mathsf { O C l } }$ 的夹角为α，且 $\tan a = 7 , \overrightarrow { O B } .$ 与 $\overrightarrow { \mathrm { O C } }$ 的夹角为 $4 5 ^ { \circ }$ ．若 $\overrightarrow { O C } = m \overrightarrow { O A } + n$ $\overrightarrow { O B } ( m , n \in R )$ ），则 $m + n = 3$

【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 $\overrightarrow { 0 . 6 } \div \overrightarrow { 0 . 0 }$ 的夹角为 α，且$\tan a = 7$ ．可得 $\cos \alpha = \frac { 1 } { 5 \sqrt { 2 } } , \sin \alpha = \frac { 7 } { 5 \sqrt { 2 } } . \cot ( \frac { 1 } { 5 } , \frac { 7 } { 5 } )$ ．可得 $\cos ( a + 4 5 ^ { \circ } ) = \frac { 3 } { 5 }$ ．sin$( a + 4 5 ^ { \circ } ) = \frac { 4 } { 5 } \cdot \textsf { B } ( - \frac { 3 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } )$ ．利用 $\overrightarrow { O C } = m \overrightarrow { O A } + n \overrightarrow { O B } ( m , n \in R )$ ），即可得出

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）
由 $\overrightarrow { \mathrm { O A } }$ 与 $\overrightarrow { \mathrm { O C } }$ 的夹角为α，且 $\tan a = 7$
$\therefore \cos \alpha = \frac { 1 } { 5 \sqrt { 2 } } , \sin \alpha = \frac { 7 } { 5 \sqrt { 2 } } .$
$\therefore C ( \frac { 1 } { 5 } , \frac { 7 } { 5 } ) .$
cos $( \alpha + 4 5 ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \cos \alpha - \sin \alpha ) = \frac { 3 } { 5 } .$
sin $( a + 4 5 ^ { \circ } ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sin \alpha + \cos \alpha ) = \frac { 4 } { 5 } .$
$\therefore B ( - \frac { 3 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } ) .$
$\because \overrightarrow { O C } = m \overrightarrow { O A } + \mathsf { n } \overrightarrow { O B } ( m , n \in \mathsf { R } ) ,$
$\therefore \frac { 1 } { 5 } = m - \frac { 3 } { 5 } n , \frac { 7 } { 5 } = 0 + \frac { 4 } { 5 } n ,$
解得 $\mathsf { n } = \frac { 7 } { 4 } , \mathsf { m } = \frac { 5 } { 4 }$
则 $m + n = 3$
故答案为：3

【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题