2014_退役省自主命题 (2014·文)
12．如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中，斜边 $B C=2 \sqrt{2}$ ，过点 $A$ 作 $B C$ 的垂线，垂足为 $A_{1}$ ；过点 $A_{1}$ 作 $A C$的垂线，垂足为 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{1} C$ 的垂线，垂足为 $A_{3} ; \cdots$ ，以此类推，设 $B A=a_{1}, A A_{1}=a_{2}$ ， $A_{1} A_{2}=a_{3}, \cdots, A_{5} A_{6}=a_{7}$ ，则 $a_{7}=$ $\_\_\_\_$ ．
【答案】 $\frac{1}{4}$
## 【解析】
试题学科國分析：由题意，$B A=a_{1}=2, \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{3}}{a_{2}}=\cdots=\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\tan \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以首项 $a_{1}=2$ ，公比 $q=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的等比数列，则 $a_{7}=a_{1} \cdot q^{6}=2 \cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{6}=\frac{1}{4}$ ．
考点：1．等比数列通项公式。
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 \geq 0 \\ x+2 y-4 \leq 0 \\ x+3 y-2 \geq 0\end{array}\right.$ 表示的平面区域的面积为 $\_\_\_\_$ ．
【答案】 4
## 【解析】
试题分析：不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积 $S_{A B C D}=S_{\triangle A B D}+S_{\triangle B C D}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \times 2=4$.
考点：1．线性规学科四划表示的区域面积 【答案】 $\frac{5}{16}$ ## 【解析】 试题分析：由题意，$f(x+4)=f(x), f(-x)=-f(x)$ ，则 $f\left(\frac{29}{4}\right)+f\left(\frac{41}{6}\right)=f\left(4+\frac{13}{4}\right)+f\left(4+\frac{17}{6}\right)$ $$
\begin{aligned}
& =f\left(\frac{13}{4}\right)+f\left(\frac{17}{6}\right)=f\left(4-\frac{3}{4}\right)+f\left(4-\frac{7}{6}\right)=f\left(-\frac{3}{4}\right)+f\left(-\frac{7}{6}\right)=-f\left(\frac{3}{4}\right)-f\left(\frac{7}{6}\right)=-\frac{3}{4} \cdot\left(1-\frac{3}{4}\right)-\sin \frac{7}{6} \pi \\
& =-\frac{3}{16}+\frac{1}{2}=\frac{5}{16}
\end{aligned}
$$ 考点：1．函数的奇偶性与周期性；2．分段函数求值．
若函数 $f(x)(x \in R)$ 是周期为 4 的奇函数，且在 $[0,2]$ 上的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x(1-x), 0 \leq x \leq 1 \\ \sin \pi x, \quad 1