已知函数 f ( x )=| x +1|-| x -2|…——2017 高考数学第 23 题答案解析

【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．
【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．

【分析】①由于 $f(x)=|x+1|-|x-2|=\left\{\begin{array}{l}-3, x<-1 \\ 2 x-1,-1 \leqslant x \leqslant 2, \text { 解不等式 } f(x) \\ 3, x>2\end{array}\right. \geq 1$ 可分 $-1 \leq x \leq 2$ 与 $x>2$ 两类讨论即可解得不等式 $f(x) \geq 1$ 的解集；
（2）依题意可得 $m \leq\left[f(x)-x^{2}+x\right]_{\text {max }}$ ，设 $g(x)=f(x)-x^{2}+x$ ，分 $x \leq 1 ,-1< x<2 , x \geq 2$ 三类讨论，可求得 $g(x)_{\text {max }}=\frac{5}{4}$ ，从而可得 $m$ 的取值范围。

【解答】解：（1）$\because f(x)=|x+1|-|x-2|=\left\{\begin{array}{l}-3, x<-1 \\ 2 x-1,-1 \leqslant x \leqslant 2, f(x) \geq 1 \text { ，} \\ 3, x>2\end{array}\right.$
∴ 当 $-1 \leq x \leq 2$ 时， $2 x-1 \geq 1$ ，解得 $1 \leq x \leq 2$ ；
当 $x>2$ 时， $3 \geq 1$ 恒成立，故 $x>2$ ；
综上，不等式f（ $x$ ）$\geq 1$ 的解集为 $\{x \mid x \geq 1\}$ 。
（2）原式等价于存在 $x \in R$ 使得 $f(x)-x^{2}+x \geq m$ 成立，
即 $m \leq\left[f(x)-x^{2}+x\right]_{\text {max }}$ ，设 $g(x)=f(x)-x^{2}+x$ 。
由①知，$g(x)= \begin{cases}-x^{2}+x-3, & x \leqslant-1 \\ -x^{2}+3 x-1, & -1当 $x \leq-1$ 时，$g(x)=-x^{2}+x-3$ ，其开口向下，对称轴方程为 $x=\frac{1}{2}>-1$ ，
$\therefore g(x) \leq g(-1)=-1-1-3=-5$ ；
当 $-12），
$\therefore g(x) \leq g\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-1=\frac{5}{4}$ ；
当 $x \geq 2$ 时，$g(x)=-x^{2}+x+3$ ，其开口向下，对称轴方程为 $x=\frac{1}{2}<2$ ，
$\therefore g(x) \leq g(2)=-4+2+3=1$ ；
综上， $\mathrm{g}(\mathrm{x})_{\text {max }}=\frac{5}{4}$ ，
$\therefore \mathrm{m}$ 的取值范围为 $\left(-\infty, \frac{5}{4}\right]$ ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题。