将离心率为 e _ 1 的双曲线 C _ 1 的实半轴长…——2015 高考数学第 9 题答案解析

【答案】D.

【解析】不妨设双曲线 $C _ { 1 }$ 的焦点在x轴上，即其方程为： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，则双曲线 $C _ { z }$ 的方程为：${ \frac { x ^ { 2 } } { \left( a + m \right) ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { \left( b + m \right) ^ { 2 } } } = 1$ ，所以 $\varrho _ { 1 } = \frac { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } { a } = \sqrt { 1 + \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \ , \ e _ { 2 } = \frac { \sqrt { \left( a + m \right) ^ { 2 } + \left( b + m \right) ^ { 2 } } } { a + m } = \sqrt { 1 + \frac { \left( b + m \right) ^ { 2 } } { \left( a + m \right) ^ { 2 } } }$ ,当a>b时，${ \frac { \dot { b } + m } { a + m } } - { \frac { \dot { b } } { a } } = { \frac { ( \dot { b } + m ) a - \dot { b } ( a + m ) } { ( a + m ) a } } = { \frac { ( a - b ) m } { ( a + m ) a } } > 0$ ，所以 ${ \frac { b + m } { a + m } } > { \frac { b } { a } }$ ，所以 $\left( { \frac { b + m } { a + m } } \right) ^ { 2 } > \left( { \frac { b } { a } } \right) ^ { 2 }$ ，所以 $\varrho _ { _ 2 } > \varrho _ { _ 1 }$ ;当a <b时， ${ \frac { \dot { b } + m } { a + m } } - { \frac { \dot { b } } { a } } = { \frac { ( \dot { b } + m ) a - \dot { b } ( a + m ) } { ( a + m ) a } } = { \frac { ( a - \dot { b } ) m } { ( a + m ) a } } < 0$ ，所以 $\frac { b + m } { a + m } < \frac { b } { a }$ ，所以 $\left( { \frac { b + m } { a + m } } \right) ^ { 2 } < \left( { \frac { b } { a } } \right) ^ { 2 }$ ，所以 $\boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 2 } < \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 1 }$ ;故应选D.

【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.

【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性.