（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 x O y 中，已…——2014 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1） $2 \sqrt{2}$；（2）$m-n=y-x, 1$．

## 【解析】

试题分析：（1）由 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in R)$，且 $m=n=\frac{2}{3}$，即可求出 $P$ 点的坐标，继而求出 $|\overrightarrow{O P}|$的值；
（2）因为 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$，所以 $(x, y)=(m+2 n, 2 m+n)$，即 $\left\{\begin{array}{l}x=m+2 n \\ y=2 m+n\end{array}\right.$，两式相减得：$m-n=y-x$今 $y-x=t$，点 $P(x, y)$ 在 $\triangle A B C$ 三边围成的区域（含边界）上，当直线 $y=x+t$ 过点 $B(2,3)$ 时， $t$ 取得最大值 1，故 $m-n$ 的最大值为 1．

试题解析：（1）$\because A(1,1), B(2,3), C(3,2)$
$\therefore \overrightarrow{A B}=(1,2), \overrightarrow{A C}=(2,1)$
$\because \overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$
又 $m=n=\frac{2}{3}$
$\therefore \overrightarrow{O P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=(2,2)$
$\therefore|\overrightarrow{O P}|=2 \sqrt{2}$
②$\because \overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}$
$\therefore(x, y)=(m+2 n, 2 m+n)$
即 $\left\{\begin{array}{l}x=m+2 n \\ y=2 m+n\end{array}\right.$
两式相减得：$m-n=y-x$
今 $y-x=t$，由图可知，当直线 $y=x+t$ 过点 $B(2,3)$ 时，$t$ 取得最大值 1，故 $m-n$ 的最大值为 1．

考点：平面向量的线性运算；线性规划．