［选修4－5：不等式选讲］ 已知 a, b, c 为正数，…——2019 高考数学第 23 题答案解析

【答案】（1）见解析；（2）见解析

## 【解析】

【分析】
（1）利用 $a b c=1$ 将所证不等式可变为证明：$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq b c+a c+a b$ ，利用基本不等式可证得 $2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq 2 a b+2 b c+2 a c$ ，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得 $(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$ ，再次利用基本不等式可将式转化为 $(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24 \sqrt{(a b c)^{2}}$ ，在取等条件一致的情况下，可得结论。

【详解】①$\because a b c=1 \quad \therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \cdot a b c=b c+a c+a b$
$\because 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=\left(a^{2}+b^{2}\right)+\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(c^{2}+a^{2}\right) \geq 2 a b+2 b c+2 a c$
当且仅当 $a=b=c$ 时取等号
$\therefore 2\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \geq 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), ~$ 即：$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
②$\because(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$ ，当且仅当 $a=b=c$ 时取等号

又 $a+b \geq 2 \sqrt{a b}, b+c \geq 2 \sqrt{b c}, a+c \geq 2 \sqrt{a c}$（当且仅当 $a=b=c$ 时等号同时成立）
$\therefore(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 3 \times 2 \sqrt{a b} \times 2 \sqrt{b c} \times 2 \sqrt{a c}=24 \sqrt{(a b c)^{2}}$
又 $a b c=1 \quad \therefore(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$
【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立。