2014 全国高考数学 2014_退役省自主命题 (2014·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（本小题满分 12 分）
在 $	riangle A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$，且 $a>c$，已知 $\overrightarrow{B A} \bullet \overrightarrow{B C}=2, \cos B=\frac{1}{3}, b=3$，求：
①$a$ 和 $c$ 的值；
② $\cos (B-C)$ 的值．

Accepted Answer

(1) $a=3, c=2$; (2) $\frac{23}{27}$． 【解析．】 试题分析：（ I ）由 $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=2$ 和 $\cos B=\frac{1}{3}$，得 $a c=6$．由余弦定理，得 $a^{2}+c^{2}=13$． 解 $\left\{\begin{array}{l}a c=6 \ a^{2}+c^{2}=13\end{array}ight.$，即可求出 $\mathrm{a}, c$；（II）在 $	riangle A B C$ 中，利用同角基本关系得 $\sin B=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$． 由正弦定理，得 $\sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$，又因为 $a=b>c$，所以 $C$ 为锐角，因此 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^{2} C}=\frac{7}{9}$，利用 $\cos (B-C)=\cos B \cos C+\sin B \sin C$，即可求出结果． 试题解析：（I）由 $\overline{B A} \cdot \overline{B C}=2$ 得，$c \cdot a \cos B=2$，又 $\cos B=\frac{1}{3}$，所以 $a c=6$． 由余弦定理，得 $a^{2}+c^{2}=b^{2}+2 a c \cos B$． 又 $b=3$，所以 $a^{2}+c^{2}=9+2 	imes 2=13$． 解 $\left\{\begin{array}{l}a c=6 \ a^{2}+c^{2}=13\end{array}ight.$，得 $a=2, c=3$ 或 $a=3, c=2$． 因为 $a>c, 	herefore a=3, c=2$． （II）在 $	riangle A B C$ 中， $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}ight)^{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$． 由正弦定理，得 $\sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{2}{3} \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$，乙因为 $a=b>c$，所以 $C$ 为锐角，因此 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^{2} C}=\sqrt{1-\left(\frac{4 \sqrt{2}}{9}ight)^{2}}=\frac{7}{9}$. 于是 $\cos (B-C)=\cos B \cos C+\sin B \sin C=\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{9}+\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4 \sqrt{2}}{9}=\frac{23}{27}$． 考点：1．解三角形；2．三角恒等变换．

2014 高考数学第 17 题答案解析

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