17．（本小题满分 14 分）
请你设计一个包装盒，如图所示，$A B C D$ 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A, B, C, D$ 四个点重合于图中的点 $P$ ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E, F$ 在 $A B$ 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点。设 $A E=F B=x(\mathrm{~cm})$ ．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积 $S\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积 $V\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
（本小题满分 14 分） 请你设计一个包装盒，如图所示，…——2011 高考数学第 17 题答案解析
2011_江苏卷 (2011)
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【解答】
本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．满分 $\mathbf{1 4}$ 分．
解：设包装盒的高为 $h(\mathrm{~cm})$ ，底面边长为 $a(\mathrm{~cm})$ 。由已知得
$$
a=\sqrt{2} x, h=\frac{60-2 x}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(30-x), 0 ①$S=4 a h=8 x(30-x)=-8(x-15)^{2}+1800$ ， 此时 $\frac{h}{a}=\frac{1}{2}$ ．即包装盒的高与底面边长的比值为 $\frac{1}{2}$ ．
所以当 $x=15$ 时，$S$ 取得最大值．
（2）$V=a^{2} h=2 \sqrt{2}\left(-x^{3}+30 x^{2}\right), V^{\prime}=6 \sqrt{2} x(20-x)$ ．
由 $V^{\prime}=0$ 得 $x=0$（舍）或 $x=20$ ．
当 $x \in(0,20)$ 时，$V^{\prime}>0$ ；当 $x \in(20,30)$ 时，$V^{\prime}<0$ ．
所以当 $x=20$ 时，$V$ 取得极大值，也是最大值．
✅ 来源：2011年 · ?? · 2011_江苏卷 (2011) · 第 17 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验