2011 高考数学第 17 题答案解析

17．（本小题满分 14 分）
请你设计一个包装盒，如图所示，$A B C D$ 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 $A, B, C, D$ 四个点重合于图中的点 $P$ ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，$E, F$ 在 $A B$ 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点。设 $A E=F B=x(\mathrm{~cm})$ ．
（1）某广告商要求包装盒的侧面积 $S\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积 $V\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$ 最大，试问 $x$ 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．